ベクトル $\vec{p_1} = (1, -5, 2)$, $\vec{p_2} = (-3, 0, 4)$, $\vec{p_3} = (2, -2, 0)$ が与えられたとき、$\vec{p_1} \times \vec{p_2}$ を求め、さらにこれらのベクトルがつくる平行六面体の体積を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{p_1} = (1, -5, 2)$, $\vec{p_2} = (-3, 0, 4)$, $\vec{p_3} = (2, -2, 0)$ が与えられたとき、$\vec{p_1} \times \vec{p_2}$ を求め、さらにこれらのベクトルがつくる平行六面体の体積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{p_1} \times \vec{p_2}$ を計算する。

$\vec{p_1} \times \vec{p_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} (-5)(4) - (2)(0) \\ (2)(-3) - (1)(4) \\ (1)(0) - (-5)(-3) \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} -20 \\ -6 - 4 \\ 0 - 15 \end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} -20 \\ -10 \\ -15 \end{pmatrix}$

平行六面体の体積は、ベクトル $\vec{p_1}, \vec{p_2}, \vec{p_3}$ で作られるスカラー三重積の絶対値で与えられる。つまり、$|\vec{p_3} \cdot (\vec{p_1} \times \vec{p_2})|$ を計算する。

$\vec{p_3} \cdot (\vec{p_1} \times \vec{p_2}) = (2, -2, 0) \cdot (-20, -10, -15)$

$= (2)(-20) + (-2)(-10) + (0)(-15)$

$= -40 + 20 + 0$

$= -20$

したがって、平行六面体の体積は $|-20| = 20$ である。

3. 最終的な答え

$\vec{p_1} \times \vec{p_2} = \begin{pmatrix} -20 \\ -10 \\ -15 \end{pmatrix}$

平行六面体の体積: 20