2点 $(3, 1, 7)$ と $(-1, 9, 2)$ を直径の両端とする球面と $xy$ 平面が交わってできる円の半径を求める。

1. 問題の内容

2点 $(3, 1, 7)$ と $(-1, 9, 2)$ を直径の両端とする球面と $xy$ 平面が交わってできる円の半径を求める。

2. 解き方の手順

まず、球の中心を求める。球の中心は直径の両端の中点なので、

$\left( \frac{3 + (-1)}{2}, \frac{1 + 9}{2}, \frac{7 + 2}{2} \right) = \left( 1, 5, \frac{9}{2} \right)$

次に、球の半径を求める。半径は中心と直径の一端の距離なので、

$\sqrt{(3 - 1)^2 + (1 - 5)^2 + \left( 7 - \frac{9}{2} \right)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + \left( \frac{5}{2} \right)^2} = \sqrt{4 + 16 + \frac{25}{4}} = \sqrt{20 + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{80 + 25}{4}} = \sqrt{\frac{105}{4}} = \frac{\sqrt{105}}{2}$

$xy$ 平面と球面の交わりは円になる。その円の中心は $(1, 5, 0)$ であり、球の中心から $xy$ 平面までの距離は $\frac{9}{2}$ である。

求める円の半径を $r$ とすると、三平方の定理より、

$r^2 + \left( \frac{9}{2} \right)^2 = \left( \frac{\sqrt{105}}{2} \right)^2$

$r^2 + \frac{81}{4} = \frac{105}{4}$

$r^2 = \frac{105 - 81}{4} = \frac{24}{4} = 6$

$r = \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{6}$