はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

はい、承知いたしました。画像にある数学の問題を解いていきます。

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1. 問題の内容**

(11) 3点 $A(4, 2), B(0, 0), C(2, -5)$ を頂点とする $\triangle ABC$ の重心 $G$ の座標を求めなさい。

(12) 3点 $A(-5, 11), B(2, -1), C(-3, -1)$ を頂点とする $\triangle ABC$ の重心 $G$ の座標を求めなさい。

(13) 2点 $(-4, 7), (-4, 13)$ を通る直線の方程式を求めなさい。

(14) 2点 $A(2, 0), B(6, 2)$ を結ぶ線分 $AB$ について、2:1 に外分する点 $C$ の座標を求めなさい。

(15) 2点 $A(-4, 6), B(0, 0)$ の距離を求めなさい。

(16) 点 $(3, -1)$ を通り、直線 $4x + y - 1 = 0$ に平行な直線の方程式を求めなさい。

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2. 解き方の手順**

**(11)**

重心 $G$ の座標は、各頂点の座標の平均として計算できます。

$G(x, y) = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$

$x = \frac{4 + 0 + 2}{3} = \frac{6}{3} = 2$

$y = \frac{2 + 0 + (-5)}{3} = \frac{-3}{3} = -1$

**(12)**

同様に、重心 $G$ の座標を計算します。

$x = \frac{-5 + 2 + (-3)}{3} = \frac{-6}{3} = -2$

$y = \frac{11 + (-1) + (-1)}{3} = \frac{9}{3} = 3$

**(13)**

2点のx座標が等しいので、$x = -4$ が直線の方程式となります。

**(14)**

線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点の座標は、以下の式で計算できます。

$C(x, y) = \left(\frac{mx_B - nx_A}{m - n}, \frac{my_B - ny_A}{m - n}\right)$

$m = 2, n = 1$ なので、

$x = \frac{2 \cdot 6 - 1 \cdot 2}{2 - 1} = \frac{12 - 2}{1} = 10$

$y = \frac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 0}{2 - 1} = \frac{4}{1} = 4$

**(15)**

2点間の距離は、以下の式で計算できます。

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

$d = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (0 - 6)^2} = \sqrt{4^2 + (-6)^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$

**(16)**

与えられた直線 $4x + y - 1 = 0$ に平行な直線は、$4x + y + c = 0$ の形で表せます。

点 $(3, -1)$ を通るので、これを代入して $c$ を求めます。

$4 \cdot 3 + (-1) + c = 0$

$12 - 1 + c = 0$

$11 + c = 0$

$c = -11$

したがって、平行な直線の方程式は $4x + y - 11 = 0$ です。

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3. 最終的な答え**

(11) $G(2, -1)$

(12) $G(-2, 3)$

(13) $x = -4$

(14) $C(10, 4)$

(15) $2\sqrt{13}$

(16) $4x + y - 11 = 0$