2点 $A(2, -3)$ と $B(-8, 4)$ を結ぶ線分 $AB$ について、以下の点を求める問題です。 (1) 線分 $AB$ を $3:1$ に内分する点の座標 (2) 線分 $AB$ を $2:3$ に外分する点の座標

1. 問題の内容

2点 $A(2, -3)$ と $B(-8, 4)$ を結ぶ線分 $AB$ について、以下の点を求める問題です。

(1) 線分 $AB$ を $3:1$ に内分する点の座標

(2) 線分 $AB$ を $2:3$ に外分する点の座標

2. 解き方の手順

(1) 線分 $AB$ を $m:n$ に内分する点の座標は、点Aの座標を $(x_1, y_1)$、点Bの座標を $(x_2, y_2)$ とすると、以下の式で表されます。

$(\frac{nx_1 + mx_2}{m+n}, \frac{ny_1 + my_2}{m+n})$

この問題の場合、$m = 3$, $n = 1$, $x_1 = 2$, $y_1 = -3$, $x_2 = -8$, $y_2 = 4$ なので、内分点の座標は、

$(\frac{1\times 2 + 3\times (-8)}{3+1}, \frac{1\times (-3) + 3\times 4}{3+1}) = (\frac{2 - 24}{4}, \frac{-3 + 12}{4}) = (\frac{-22}{4}, \frac{9}{4}) = (-\frac{11}{2}, \frac{9}{4})$

(2) 線分 $AB$ を $m:n$ に外分する点の座標は、以下の式で表されます。

$(\frac{-nx_1 + mx_2}{m-n}, \frac{-ny_1 + my_2}{m-n})$

この問題の場合、$m = 2$, $n = 3$, $x_1 = 2$, $y_1 = -3$, $x_2 = -8$, $y_2 = 4$ なので、外分点の座標は、

$(\frac{-3\times 2 + 2\times (-8)}{2-3}, \frac{-3\times (-3) + 2\times 4}{2-3}) = (\frac{-6 - 16}{-1}, \frac{9 + 8}{-1}) = (\frac{-22}{-1}, \frac{17}{-1}) = (22, -17)$

3. 最終的な答え

(1) 線分 $AB$ を $3:1$ に内分する点の座標は $(-\frac{11}{2}, \frac{9}{4})$

(2) 線分 $AB$ を $2:3$ に外分する点の座標は $(22, -17)$