直線 $x - y - 2 = 0$ に関して、点 $A(3, 7)$ と対称な点 $B$ の座標を求めよ。

1. 問題の内容

直線 $x - y - 2 = 0$ に関して、点 $A(3, 7)$ と対称な点 $B$ の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

点 $B$ の座標を $(x, y)$ とする。

$A$ と $B$ の中点を $M$ とすると、

$M$ の座標は $(\frac{3+x}{2}, \frac{7+y}{2})$ となる。

$M$ は直線 $x - y - 2 = 0$ 上にあるので、

$\frac{3+x}{2} - \frac{7+y}{2} - 2 = 0$ が成り立つ。

両辺に $2$ をかけて整理すると、

$3+x - (7+y) - 4 = 0$

$x - y - 8 = 0$

$x - y = 8$ ...(1)

直線 $AB$ は $x - y - 2 = 0$ と垂直なので、$AB$ の傾きは $-1$ である。

$AB$ の傾きは $\frac{y-7}{x-3}$ と表せるので、

$\frac{y-7}{x-3} = -1$

$y - 7 = -(x - 3)$

$y - 7 = -x + 3$

$x + y = 10$ ...(2)

(1)と(2)の連立方程式を解く。

$x - y = 8$

$x + y = 10$

2式を足し合わせると、

$2x = 18$

$x = 9$

$x = 9$ を (2)に代入すると、

$9 + y = 10$

$y = 1$

3. 最終的な答え

点 $B$ の座標は $(9, 1)$