次の3つの条件を満たす直線の方程式を求める問題です。 (1) 点$(4, 6)$を通り、$x$軸に垂直な直線 (2) 点$(-2, -1)$を通り、直線$3x - 2y + 5 = 0$に平行な直線 (3) 2直線$x - y + 1 = 0$と$3x + 2y - 12 = 0$の交点を通り、直線$5x - 6y - 8 = 0$に垂直な直線

1. 問題の内容

次の3つの条件を満たす直線の方程式を求める問題です。

(1) 点$(4, 6)$を通り、$x$軸に垂直な直線

(2) 点$(-2, -1)$を通り、直線$3x - 2y + 5 = 0$に平行な直線

(3) 2直線$x - y + 1 = 0$と$3x + 2y - 12 = 0$の交点を通り、直線$5x - 6y - 8 = 0$に垂直な直線

2. 解き方の手順

(1) $x$軸に垂直な直線は、$x = c$（$c$は定数）の形で表されます。点$(4, 6)$を通るので、$x = 4$が求める直線の方程式です。

(2) 直線$3x - 2y + 5 = 0$に平行な直線は、$3x - 2y + k = 0$（$k$は定数）の形で表されます。点$(-2, -1)$を通るので、$x = -2$, $y = -1$を代入して、$k$を求めます。

$3(-2) - 2(-1) + k = 0$

$-6 + 2 + k = 0$

$k = 4$

したがって、求める直線の方程式は$3x - 2y + 4 = 0$です。

(3) まず、2直線$x - y + 1 = 0$と$3x + 2y - 12 = 0$の交点を求めます。

$x - y + 1 = 0$ より、$y = x + 1$

これを$3x + 2y - 12 = 0$に代入すると、

$3x + 2(x + 1) - 12 = 0$

$3x + 2x + 2 - 12 = 0$

$5x - 10 = 0$

$5x = 10$

$x = 2$

$y = x + 1 = 2 + 1 = 3$

交点は$(2, 3)$です。

次に、直線$5x - 6y - 8 = 0$に垂直な直線の傾きを求めます。$5x - 6y - 8 = 0$を変形すると、$6y = 5x - 8$より、$y = \frac{5}{6}x - \frac{4}{3}$です。

この直線の傾きは$\frac{5}{6}$なので、これに垂直な直線の傾きは$-\frac{6}{5}$です。

傾き$-\frac{6}{5}$で点$(2, 3)$を通る直線の方程式は、$y - 3 = -\frac{6}{5}(x - 2)$

$5(y - 3) = -6(x - 2)$

$5y - 15 = -6x + 12$

$6x + 5y - 27 = 0$

3. 最終的な答え

(1) $x = 4$

(2) $3x - 2y + 4 = 0$

(3) $6x + 5y - 27 = 0$