点A(1, 5)から円 $x^2 + y^2 = 13$ に引いた接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

点A(1, 5)から円 $x^2 + y^2 = 13$ に引いた接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 接線の方程式を $y = m(x - 1) + 5$ と仮定します。これは、傾きが $m$ で点A(1, 5)を通る直線を表しています。

(2) 円 $x^2 + y^2 = 13$ と接線が接するための条件は、円の中心（原点）と接線の距離が円の半径 $\sqrt{13}$ に等しいことです。点と直線の距離の公式を使用します。

接線の方程式を一般形 $mx - y - m + 5 = 0$ と書き換えます。

(3) 点と直線の距離の公式より、

$$\frac{|m(0) - (0) - m + 5|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \sqrt{13}$$

$$\frac{|-m + 5|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{13}$$

両辺を2乗すると、

$$(-m + 5)^2 = 13(m^2 + 1)$$

$$m^2 - 10m + 25 = 13m^2 + 13$$

$$12m^2 + 10m - 12 = 0$$

$$6m^2 + 5m - 6 = 0$$

(4) 上記の2次方程式を解きます。

$$(2m + 3)(3m - 2) = 0$$

$$m = -\frac{3}{2}, \frac{2}{3}$$

(5) それぞれの傾きに対応する接線の方程式を求めます。

$m = -\frac{3}{2}$ のとき、

$$y = -\frac{3}{2}(x - 1) + 5$$

$$2y = -3x + 3 + 10$$

$$3x + 2y - 13 = 0$$

$m = \frac{2}{3}$ のとき、

$$y = \frac{2}{3}(x - 1) + 5$$

$$3y = 2x - 2 + 15$$

$$2x - 3y + 13 = 0$$

3. 最終的な答え

接線の方程式は $3x + 2y - 13 = 0$ と $2x - 3y + 13 = 0$ です。