直角三角形ABCにおいて、直角を挟む2辺ABとBCの長さの和が10cmであるとき、この三角形の面積の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、直角を挟む2辺ABとBCの長さの和が10cmであるとき、この三角形の面積の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

ABの長さを $x$ とすると、BCの長さは $10 - x$ と表せる。ただし、$x > 0$ かつ $10 - x > 0$、つまり、$0 < x < 10$ である。

三角形ABCの面積Sは、$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} x (10 - x)$ と表せる。

$S = \frac{1}{2} x (10 - x) = \frac{1}{2} (-x^2 + 10x) = -\frac{1}{2} (x^2 - 10x)$

平方完成すると、

$S = -\frac{1}{2} (x^2 - 10x + 25 - 25) = -\frac{1}{2} ((x - 5)^2 - 25) = -\frac{1}{2} (x - 5)^2 + \frac{25}{2}$

$0 < x < 10$ の範囲で、Sは $x = 5$ のとき最大値 $\frac{25}{2}$ をとる。

したがって、三角形の面積の最大値は $\frac{25}{2}$ である。

3. 最終的な答え

$\frac{25}{2} cm^2$