あるクラスでテストを行ったところ、第一問の正解者は28人、第二問の正解者は33人、第三問の正解者は45人だった。クラスの人数は50人である。 (1) 第一問と第二問がともに正解だった者の数が最も少ない場合を求める。 (2) 第一問、第二問、第三問がすべて正解だった者の数が最も少ない場合を求める。

1. 問題の内容

あるクラスでテストを行ったところ、第一問の正解者は28人、第二問の正解者は33人、第三問の正解者は45人だった。クラスの人数は50人である。

(1) 第一問と第二問がともに正解だった者の数が最も少ない場合を求める。

(2) 第一問、第二問、第三問がすべて正解だった者の数が最も少ない場合を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第一問と第二問の両方正解した人数が最も少なくなるケースを考えます。

クラス全体が50人なので、第一問を不正解だった人数は $50 - 28 = 22$ 人、第二問を不正解だった人数は $50 - 33 = 17$ 人です。

第一問と第二問の少なくともどちらか一方を不正解だった人数は、多くても $22 + 17 = 39$ 人です。

したがって、第一問と第二問の両方を正解した人数は、少なくとも $50 - 39 = 11$ 人です。

(2) 第一問、第二問、第三問がすべて正解だった人数が最も少なくなるケースを考えます。

第一問を不正解だった人数は $50 - 28 = 22$ 人、第二問を不正解だった人数は $50 - 33 = 17$ 人、第三問を不正解だった人数は $50 - 45 = 5$ 人です。

第一問、第二問、第三問の少なくともどれか１つを不正解だった人数は、多くても $22 + 17 + 5 = 44$ 人です。

したがって、第一問、第二問、第三問のすべてを正解した人数は、少なくとも $50 - 44 = 6$ 人です。

3. 最終的な答え

(1) 11人

(2) 6人