2点A(-3, 1)とB(5, 9)から等距離にあるx軸上の点Pの座標を求める問題と、2点A(1, -1)とB(4, 3)を結ぶ線分ABについて、4:3に内分する点Cと、3:2に外分する点Eの座標を求める問題です。

1. 問題の内容

2点A(-3, 1)とB(5, 9)から等距離にあるx軸上の点Pの座標を求める問題と、2点A(1, -1)とB(4, 3)を結ぶ線分ABについて、4:3に内分する点Cと、3:2に外分する点Eの座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

(2) 点Pはx軸上にあるので、座標は(x, 0)と表せる。点PがAとBから等距離にあるということは、AP = BPである。

APの距離は $\sqrt{(x-(-3))^2 + (0-1)^2}$ = $\sqrt{(x+3)^2 + 1}$

BPの距離は $\sqrt{(x-5)^2 + (0-9)^2}$ = $\sqrt{(x-5)^2 + 81}$

AP = BPなので、両辺を2乗すると、

$(x+3)^2 + 1 = (x-5)^2 + 81$

$x^2 + 6x + 9 + 1 = x^2 - 10x + 25 + 81$

$6x + 10 = -10x + 106$

$16x = 96$

$x = 6$

よって、点Pの座標は(6, 0)。

(3) (1) 線分ABを4:3に内分する点Cの座標を求める。

内分点の公式より、

$C_x = \frac{3A_x + 4B_x}{4+3} = \frac{3(1) + 4(4)}{7} = \frac{3+16}{7} = \frac{19}{7}$

$C_y = \frac{3A_y + 4B_y}{4+3} = \frac{3(-1) + 4(3)}{7} = \frac{-3+12}{7} = \frac{9}{7}$

よって、点Cの座標は($\frac{19}{7}$, $\frac{9}{7}$)。

(3) (2) 線分ABを3:2に外分する点Eの座標を求める。

外分点の公式より、

$E_x = \frac{-2A_x + 3B_x}{3-2} = \frac{-2(1) + 3(4)}{1} = \frac{-2+12}{1} = 10$

$E_y = \frac{-2A_y + 3B_y}{3-2} = \frac{-2(-1) + 3(3)}{1} = \frac{2+9}{1} = 11$

よって、点Eの座標は(10, 11)。

3. 最終的な答え

(2) 点Pの座標: (6, 0)

(3) (1) 点Cの座標: ($\frac{19}{7}$, $\frac{9}{7}$)

(3) (2) 点Eの座標: (10, 11)