$xyz$ 空間上の2点 $A(-3, -1, 1)$ と $B(-1, 0, 0)$ を通る直線 $l$ があります。点 $C(2, 3, 3)$ から直線 $l$ に下ろした垂線の足 $H$ の座標を求めます。

1. 問題の内容

$xyz$ 空間上の2点 $A(-3, -1, 1)$ と $B(-1, 0, 0)$ を通る直線 $l$ があります。点 $C(2, 3, 3)$ から直線 $l$ に下ろした垂線の足 $H$ の座標を求めます。

2. 解き方の手順

まず、直線 $l$ の方向ベクトルを求めます。これは $\vec{AB}$ で与えられます。

$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (-1, 0, 0) - (-3, -1, 1) = (2, 1, -1)$

次に、直線 $l$ のパラメータ表示を求めます。点 $B(-1, 0, 0)$ を通り、方向ベクトルが $(2, 1, -1)$ である直線のパラメータ表示は、

$\vec{OH} = \vec{OB} + t\vec{AB} = (-1, 0, 0) + t(2, 1, -1) = (-1 + 2t, t, -t)$

と表せます。ここで、$H$ は直線 $l$ 上の点であり、$t$ は実数のパラメータです。

したがって、$H$ の座標は $H(-1 + 2t, t, -t)$ となります。

$\vec{CH}$ は直線 $l$ と垂直なので、$\vec{CH}$ と $\vec{AB}$ の内積は 0 になります。

$\vec{CH} = \vec{OH} - \vec{OC} = (-1 + 2t, t, -t) - (2, 3, 3) = (-3 + 2t, t - 3, -3 - t)$

$\vec{CH} \cdot \vec{AB} = 0$

$(-3 + 2t, t - 3, -3 - t) \cdot (2, 1, -1) = 0$

$2(-3 + 2t) + (t - 3) - (-3 - t) = 0$

$-6 + 4t + t - 3 + 3 + t = 0$

$6t - 6 = 0$

$t = 1$

したがって、$H$ の座標は $H(-1 + 2(1), 1, -1) = H(1, 1, -1)$ となります。

3. 最終的な答え

垂線の足 $H$ の座標は $(1, 1, -1)$ です。