半径 $a$ の円に内接する二等辺三角形があり、その高さを $x$ とします。 (1) 二等辺三角形の面積 $S$ を $x$ の式で表し、また $x$ の変域を求めなさい。 (2) $S$ が最大になるときの $x$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

半径 $a$ の円に内接する二等辺三角形があり、その高さを $x$ とします。

(1) 二等辺三角形の面積 $S$ を $x$ の式で表し、また $x$ の変域を求めなさい。

(2) $S$ が最大になるときの $x$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1)

二等辺三角形の底辺の中点を $M$ とします。円の中心を $O$ とすると、 $OM = x - a$ です。底辺の半分の長さを $b$ とすると、三平方の定理より

$b^2 + (x-a)^2 = a^2$

$b^2 = a^2 - (x-a)^2 = a^2 - (x^2 - 2ax + a^2) = 2ax - x^2$

$b = \sqrt{2ax - x^2}$

したがって、底辺の長さは $2b = 2\sqrt{2ax - x^2}$ となります。

面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2ax - x^2} \times x = x\sqrt{2ax - x^2}$

$x$ の変域は、$0 < x \le 2a$ です。

ただし、二等辺三角形が存在するためには $x>0$ である必要があります。

(2)

$S = x\sqrt{2ax - x^2}$

$S^2 = x^2(2ax - x^2) = 2ax^3 - x^4$

$S^2$ を $x$ で微分すると、

$\frac{d(S^2)}{dx} = 6ax^2 - 4x^3 = 2x^2(3a - 2x)$

$\frac{d(S^2)}{dx} = 0$ となるのは、$x = 0$ または $x = \frac{3a}{2}$ のときです。

$x$ の変域は $0 < x \le 2a$ なので、$x = \frac{3a}{2}$ の前後で $S^2$ の増減を調べます。

$0 < x < \frac{3a}{2}$ のとき $\frac{d(S^2)}{dx} > 0$

$\frac{3a}{2} < x \le 2a$ のとき $\frac{d(S^2)}{dx} < 0$

したがって、$x = \frac{3a}{2}$ のとき $S^2$ は最大となり、 $S$ も最大になります。

$x = \frac{3a}{2}$ が $x$ の変域に含まれているので、$S$ が最大となるのは $x = \frac{3a}{2}$ のときです。

3. 最終的な答え

(1) $S = x\sqrt{2ax - x^2}$, $0 < x \le 2a$

(2) $x = \frac{3a}{2}$