半径3の球に内接する直円錐があり、直円錐の高さは3以上である。球の中心Oと直円錐の底面の中心Mとの距離を$x$とするとき、以下の問いに答える。 (1) 直円錐の体積$V$を$x$の式で表せ。 (2) $V$が最大になるときの$x$の値を求めよ。

1. 問題の内容

半径3の球に内接する直円錐があり、直円錐の高さは3以上である。球の中心Oと直円錐の底面の中心Mとの距離を$x$とするとき、以下の問いに答える。

(1) 直円錐の体積$V$を$x$の式で表せ。

(2) $V$が最大になるときの$x$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 直円錐の体積$V$を$x$の式で表す。

直円錐の高さは$3+x$となる。

底面の半径を$r$とすると、三平方の定理より、$r^2 + x^2 = 3^2$だから、$r^2 = 9 - x^2$である。

したがって、直円錐の体積$V$は、

$V = \frac{1}{3} \pi r^2 (3+x) = \frac{1}{3} \pi (9-x^2)(3+x)$

$V = \frac{1}{3} \pi (27+9x-3x^2-x^3)$

(2) $V$が最大になるときの$x$の値を求める。

$V(x) = \frac{1}{3} \pi (27+9x-3x^2-x^3)$

$V'(x) = \frac{1}{3} \pi (9-6x-3x^2) = \pi (3-2x-x^2) = -\pi (x^2+2x-3) = -\pi (x+3)(x-1)$

$V'(x) = 0$となるのは、$x=1, -3$

ただし、$0 \leq x \leq 3$なので、$x=1$が候補となる。

$x=1$のとき、$V'(x)$の符号は正から負に変わるので、$V(x)$は極大値をとる。

したがって、$V$が最大になるのは$x=1$のときである。

3. 最終的な答え

(1) $V = \frac{\pi}{3}(27+9x-3x^2-x^3)$

(2) $x=1$