直方体ABCD-EFGHにおいて、AB = 6cm, BC = 9cm, BF = 7cmである。 (1) 直線BDと垂直に交わる直線を、選択肢ア～エから一つ選ぶ。 (2) 四角錐C-BDHFの体積を求める。

1. 問題の内容

直方体ABCD-EFGHにおいて、AB = 6cm, BC = 9cm, BF = 7cmである。

(1) 直線BDと垂直に交わる直線を、選択肢ア～エから一つ選ぶ。

(2) 四角錐C-BDHFの体積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

直線BDと垂直に交わる直線を探す。図を見ると、BDは正方形ABCDの対角線であり、同じく正方形ABCD上の線であるAB, BC, CD, ADはBDに対して垂直とは言えない。ただし、正方形ABCDに垂直なAEは直線BDを含む平面に垂直である。したがって、直線BDと垂直に交わる直線はAEである。

(2)

四角錐C-BDHFの体積を求める。

まず、底面BDHFは長方形であり、面積を求める。

$BD = \sqrt{6^2+9^2} = \sqrt{36+81} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}$

$BDHF$は長方形なので面積は

$BD \times BF = 7 \times 3\sqrt{13} = 21\sqrt{13}$

高さは点Cから長方形BDHFに下ろした垂線である。

点CからBDHFへの垂線は長方形BDHFに垂直な点Cの真上の点までである。

点Cの真上の点は点Aの真下で点Eである。

点Cから平面BDHFへの垂線の足は、平面BDHF上にあるBDの中点とHFの中点をつないだ線上にある。

点Cから底面BDHFへの距離は，点Aから底面BDHFへの距離に等しいので、BC=9cmとなる。

四角錐の体積は

$V = \frac{1}{3} \times 底面積 \times 高さ$

ここで底面は長方形BDHFであり、高さはCから長方形BDHFへの垂線の長さである。

長方形BDHFの面積は $BD \times BF = \sqrt{6^2+9^2} \times 7 = \sqrt{117} \times 7 = 3\sqrt{13} \times 7 = 21\sqrt{13}$

次に、点Cから長方形BDHFに下ろした垂線の長さを考える。

点Cから長方形BDHFへ下ろした垂線は、線分CBの長さとなるので、9cmである。

よって、四角錐C-BDHFの体積は

$V = \frac{1}{3} \times 21\sqrt{13} \times 9 = 63\sqrt{13}$

ここでC-BDHFを構成する点をC(9,0,0), B(0,0,0), D(9,6,0), H(0,0,7), F(0,6,7)とすると、

底面BDHFはBDベクトルとBFベクトルで作られる。

BDベクトルはD-B=(9,6,0)

BFベクトルはF-B=(0,6,7)

高さはCから底面BDHFへの垂線の長さ

底面積は|BD x BF|/2 * 2 = |BD x BF| = abs((42, -63, 54))

高さはCBベクトルへの正射影

体積は (1/3) * 底面積 * 高さ

別のアプローチ

四角錐C-BDHFの体積は、直方体ABCD-EFGHの体積から、4つの三角錐を引いたものと考える。

直方体の体積は $6 \times 9 \times 7 = 378$。

三角錐A-BFD, E-BFH, G-DHF, C-BDCの体積はそれぞれ

$V_{A-BFD}=V_{G-DHF} = (1/6)*6*9*7 = 63$

$V_{C-BDC} =(1/6)*6*9*7 = 63$

$V_{B-CFH}=(1/6)*6*9*7 = 63$

三角錐C-BDHFではなく、四角錐C-BDHFなので、このやり方ではだめ。

別のやり方

底面BDHFは長方形であり、$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{6^2 + 9^2} = \sqrt{36+81} = \sqrt{117} = 3\sqrt{13}$

$BF = 7$

底面積 $S= 7 \times 3\sqrt{13} = 21\sqrt{13}$

高さは点Cから底面BDHFまでの距離である。

この高さは点Cから点Aまでの距離でもある。

Cから点Aまでの距離は、AD = 9cmである。

したがって体積は

$V = \frac{1}{3} \times 21\sqrt{13} \times 6 = 42\sqrt{13} cm^3$

3. 最終的な答え

(1) イ

(2) $42\sqrt{13} cm^3$