与えられた三角比に関する問題を解く。具体的には、直角三角形の辺の比を求めたり、三角比の相互関係や角度の変換を用いて値を計算したりする。最後に、$\sin \theta + \cos \theta$の値から$\sin \theta \cos \theta$と$\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta}$の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた三角比に関する問題を解く。具体的には、直角三角形の辺の比を求めたり、三角比の相互関係や角度の変換を用いて値を計算したりする。最後に、$\sin \theta + \cos \theta$の値から$\sin \theta \cos \theta$と$\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta}$の値を求める。

2. 解き方の手順

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0. (1) 図1において、$\sin A = \frac{\text{対辺}}{\text{斜辺}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$。$\cos A = \frac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}} = \frac{\sqrt{6^2 - 4^2}}{6} = \frac{\sqrt{36 - 16}}{6} = \frac{\sqrt{20}}{6} = \frac{2\sqrt{5}}{6} = \frac{\sqrt{5}}{3}$。

(2) 図2において、$\angle A = 30^{\circ}$なので、$AB = \frac{6}{\cos 30^{\circ}} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$。$BC = 6 \tan 30^{\circ} = 6 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$。

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1. $\cos 30^{\circ} \tan 30^{\circ} + \sin 60^{\circ} \tan 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{4}{2} = 2$。

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2. (1) $\cos \theta = -\frac{3}{5}$のとき、$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$より、$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$。$0^{\circ} < \theta < 180^{\circ}$なので、$\sin \theta > 0$。よって、$\sin \theta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$。$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}$。

(2) $\tan \theta = -2\sqrt{2}$のとき、$1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$より、$\frac{1}{\cos^2 \theta} = 1 + (-2\sqrt{2})^2 = 1 + 8 = 9$。$\cos^2 \theta = \frac{1}{9}$。$\cos \theta = \pm \frac{1}{3}$。$\tan \theta = -2\sqrt{2} < 0$より、$0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}$または$90^{\circ} < \theta < 180^{\circ}$なので、$\theta$は第2象限の角である。したがって、$\cos \theta < 0$。よって、$\cos \theta = -\frac{1}{3}$。

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3. (1) $\sin 52^{\circ} = \cos (90^{\circ} - 52^{\circ}) = \cos 38^{\circ}$。$\cos 70^{\circ} = \sin (90^{\circ} - 70^{\circ}) = \sin 20^{\circ}$。

(2) $\sin 140^{\circ} = \sin (180^{\circ} - 140^{\circ}) = \sin 40^{\circ}$。$\cos 110^{\circ} = -\cos (180^{\circ} - 110^{\circ}) = -\cos 70^{\circ}$。

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4. $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{3}$のとき、$(\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + 2\sin \theta \cos \theta = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$。

$2\sin \theta \cos \theta = \frac{1}{9} - 1 = -\frac{8}{9}$。$\sin \theta \cos \theta = -\frac{4}{9}$。

$\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} = \frac{1}{-\frac{4}{9}} = -\frac{9}{4}$。

3. 最終的な答え

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0. (1) $\sin A = \frac{2}{3}$, $\cos A = \frac{\sqrt{5}}{3}$

(2) $AB = 4\sqrt{3}$, $BC = 2\sqrt{3}$

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1. 2

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2. (1) $\sin \theta = \frac{4}{5}$, $\tan \theta = -\frac{4}{3}$

(2) $\cos \theta = -\frac{1}{3}$

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3. (1) $\cos 38^{\circ}$, $\sin 20^{\circ}$

(2) $\sin 40^{\circ}$, $-\cos 70^{\circ}$

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4. $\sin \theta \cos \theta = -\frac{4}{9}$, $\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = -\frac{9}{4}$