半径1の円に外接する二等辺三角形ABCにおいて、AB=ACかつ∠BAC=2θとする。 (1) ACをθの三角関数を用いて表す。 (2) ACが最小となるときのsinθを求める。

1. 問題の内容

半径1の円に外接する二等辺三角形ABCにおいて、AB=ACかつ∠BAC=2θとする。

(1) ACをθの三角関数を用いて表す。

(2) ACが最小となるときのsinθを求める。

2. 解き方の手順

(1)

三角形ABCは二等辺三角形なので、∠ABC = ∠ACB = (180 - 2θ)/2 = 90 - θ。

正弦定理より、

$AC / sin∠ABC = 2R$ (Rは外接円の半径)

$AC / sin(90 - θ) = 2 * 1$

$AC / cosθ = 2$

$AC = 2cosθ$

(2)

AC = $2cosθ$ であり、ACが最小となるとき、すなわち$cosθ$が最小となるときを考える。

ただし、三角形ABCが存在するためには、0 < θ < 90°を満たす必要がある。

また、θは鋭角なので、cosθが最小となるのはθが最大となるときである。

二等辺三角形の外接円の中心をOとする。

∠BOC = 2 * ∠BAC = 4θ.

また, OB = OC =

1.

三角形OBCにおいて正弦定理より

$BC/sin∠BOC = 2$

$BC = 2sin∠BOC = 2sin(4θ)$.

θが小さくなると、ACは大きくなる。

θが大きくなると、ACは小さくなる。

ACが最小となるときとはどういう状況だろうか。

θを大きくしていくと、ACは小さくなる。しかし、θが90°に近づくと三角形は潰れてしまう。

最小になるのはθが取り得る最大の値となるとき。

$AC = BC$のときを考える。このとき、三角形ABCは正三角形に近づき、ACは最小になる。

$2cosθ = 2sin4θ$

$cosθ = sin4θ = cos(π/2 - 4θ)$.

よって,

$θ = π/2 - 4θ$ より

$5θ = π/2$

$θ = π/10 = 18°$

または、

$θ = -(π/2 - 4θ)$

$3θ = π/2$

$θ = π/6 = 30°$

θ = 18°のとき、二等辺三角形 ABC が存在するので、θ = 18°を考える。

$sinθ = sin(18°) = (√5 - 1) / 4$

3. 最終的な答え

(1) $AC = 2cosθ$

(2) $sinθ = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$