与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。 $S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \dots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \dots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$

2. 解き方の手順

この和を計算するために、等比数列の和の公式と、その微分を利用します。

まず、$S$ を書き下します。

$S = 1 \cdot 1 + 3 \cdot 3 + 5 \cdot 3^2 + \dots + (2n-1) \cdot 3^{n-1}$

次に、$3S$ を書き下します。

$3S = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3^3 + \dots + (2n-1) \cdot 3^{n}$

$S - 3S$ を計算します。

$-2S = 1 + 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + \dots + 2 \cdot 3^{n-1} - (2n-1) \cdot 3^{n}$

$-2S = 1 + 2(3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1}) - (2n-1) \cdot 3^{n}$

括弧の中は等比数列の和なので、公式を用いて計算します。

$3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} = \frac{3(3^{n-1}-1)}{3-1} = \frac{3(3^{n-1}-1)}{2} = \frac{3^n - 3}{2}$

これを代入します。

$-2S = 1 + 2 \cdot \frac{3^n - 3}{2} - (2n-1) \cdot 3^{n}$

$-2S = 1 + 3^n - 3 - (2n-1) \cdot 3^{n}$

$-2S = 3^n - 2 - (2n-1) \cdot 3^{n}$

$-2S = 3^n - 2 - 2n \cdot 3^{n} + 3^{n}$

$-2S = 2 \cdot 3^n - 2 - 2n \cdot 3^{n}$

$-2S = (2 - 2n) \cdot 3^n - 2$

$S = (n-1) \cdot 3^n + 1$

3. 最終的な答え

$S = (n-1)3^n + 1$