$r$ の関数 $\frac{r^2 + r + 1}{1 + r^2} = k$ を満たす $r$ の範囲が $-1 < r < 1$ となるときの $k$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$r$ の関数 $\frac{r^2 + r + 1}{1 + r^2} = k$ を満たす $r$ の範囲が $-1 < r < 1$ となるときの $k$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$r$ について解くことを考えます。与えられた方程式を変形します。

$$r^2 + r + 1 = k(1 + r^2)$$

$$r^2 + r + 1 = k + kr^2$$

$$(1-k)r^2 + r + (1-k) = 0$$

$r$ の2次方程式が得られました。この方程式が $-1 < r < 1$ の範囲に少なくとも1つの解を持つための $k$ の条件を求めます。

まず、$k=1$ の場合を考えます。方程式は $r = 0$ となり、$-1 < r < 1$ を満たすので、$k=1$ は解の一つです。

次に、$k \neq 1$ の場合を考えます。2次方程式の解の公式を用いると、

$$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1-k)^2}}{2(1-k)}$$

となります。この解が $-1 < r < 1$ の範囲にある条件を考えます。

まず、実数解を持つ必要があるので、判別式は非負である必要があります。

$$1 - 4(1-k)^2 \geq 0$$

$$4(1-k)^2 \leq 1$$

$$(1-k)^2 \leq \frac{1}{4}$$

$$-\frac{1}{2} \leq 1-k \leq \frac{1}{2}$$

$$-\frac{1}{2} - 1 \leq -k \leq \frac{1}{2} - 1$$

$$-\frac{3}{2} \leq -k \leq -\frac{1}{2}$$

$$\frac{1}{2} \leq k \leq \frac{3}{2}$$

$r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1-k)^2}}{2(1-k)}$ が $-1 < r < 1$ を満たす条件を検討します。

$k = \frac{1}{2}$ の時、 $r = \frac{-1 \pm \sqrt{1-1}}{2(1/2)} = -1$ より不適

$k = \frac{3}{2}$ の時、 $r = \frac{-1 \pm \sqrt{1-1}}{2(-1/2)} = 1$ より不適

$f(r) = (1-k)r^2 + r + (1-k)$ とおきます。$-1 < r < 1$ で $f(r) = 0$ となる条件は、

$f(-1) > 0$ かつ $f(1) > 0$ を満たすか、または $-1 < r < 1$ に頂点を持つことです。

$f(-1) = (1-k) - 1 + (1-k) = 2 - 2k > 0$ より $k < 1$

$f(1) = (1-k) + 1 + (1-k) = 2 - 2k > 0$ より $k < 1$

軸は $r = \frac{-1}{2(1-k)} = \frac{1}{2(k-1)}$ となります。

$-1 < \frac{1}{2(k-1)} < 1$ を満たす $k$ を探します。

場合分けをします。

1. $k-1 > 0$ (すなわち $k > 1$) のとき、$2(k-1) > 1$ より $2k - 2 > 1$ すなわち $k > 3/2$.

一方、$2(k-1) < -1$ より $2k - 2 < -1$ すなわち $k < 1/2$. これを満たす $k$ は存在しない。

2. $k-1 < 0$ (すなわち $k < 1$) のとき、$2(k-1) > 1$ は $k > 3/2$ となり、$k < 1$ と矛盾。

一方、$2(k-1) < -1$ より $2k - 2 < -1$ すなわち $k < 1/2$.

したがって、$k < 1/2$ を得ます。

以上の検討から、 $k=1$ または $1/2 \le k \le 3/2$, $k < 1/2$ が必要となるが、解の存在条件や $-1<r<1$ の範囲を満たすかなどの吟味が必要。

$k=1$ の場合、$r^2+r+1 = 1+r^2$ より $r=0$ であり、$-1 < r < 1$ を満たすため、$k=1$ は条件を満たします。

3. 最終的な答え

$k=1$