$ \frac{r^2 + r + 1}{1 + r^2} = k $ を満たす $r$ の範囲が $ -1 < r < 1 $ となるような $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$\frac{r^2 + r + 1}{1 + r^2} = k$ を満たす $r$ の範囲が $-1 < r < 1$ となるような $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{r^2 + r + 1}{1 + r^2} = k$ を $r$ について解く。

$r^2 + r + 1 = k(1 + r^2)$

$r^2 + r + 1 = k + kr^2$

$r^2 - kr^2 + r + 1 - k = 0$

$(1-k)r^2 + r + (1-k) = 0$

$r$ の二次方程式 $(1-k)r^2 + r + (1-k) = 0$ が $-1 < r < 1$ に少なくとも１つの解を持つような $k$ の範囲を求める。

場合分けをして考える。

(1) $k = 1$ のとき：

$0 \cdot r^2 + r + 0 = 0$

$r = 0$

$-1 < r < 1$ を満たすので、$k = 1$ は条件を満たす。

(2) $k \neq 1$ のとき：

二次方程式 $(1-k)r^2 + r + (1-k) = 0$ の判別式を $D$ とすると、

$D = 1^2 - 4(1-k)(1-k) = 1 - 4(1-k)^2$

$D = 1 - 4(1 - 2k + k^2) = 1 - 4 + 8k - 4k^2 = -4k^2 + 8k - 3$

$D \ge 0$ が必要。

$-4k^2 + 8k - 3 \ge 0$

$4k^2 - 8k + 3 \le 0$

$(2k - 1)(2k - 3) \le 0$

$\frac{1}{2} \le k \le \frac{3}{2}$

また、二次方程式の解の公式より、

$r = \frac{-1 \pm \sqrt{-4k^2 + 8k - 3}}{2(1-k)}$

$-1 < r < 1$ に少なくとも1つの解を持つ必要があるので、

$f(r) = (1-k)r^2 + r + (1-k)$ とおくと、

$f(-1) = (1-k) - 1 + (1-k) = 2 - 2k = 2(1-k)$

$f(1) = (1-k) + 1 + (1-k) = 2 - 2k = 2(1-k)$

$1-k>0$ つまり $k<1$ のとき、$f(-1)>0, f(1)>0$ なので、$f(x)=0$となる$x$は$-1<x<1$に存在しない

$1-k<0$ つまり $k>1$ のとき、$f(-1)<0, f(1)<0$ なので、$f(x)=0$となる$x$は$-1<x<1$に存在する可能性がある

$k=1$は条件を満たすため、$\frac{1}{2} \le k \le \frac{3}{2}$ かつ $k \ne 1$。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \le k \le \frac{3}{2}$