命題「$x \ge 3$ ならば $3|x-2| - x \ge 0$」の逆、裏、対偶をそれぞれ選択肢から選び、さらにそれらの真偽を選択肢から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

命題「$x \ge 3$ ならば $3|x-2| - x \ge 0$」の逆、裏、対偶をそれぞれ選択肢から選び、さらにそれらの真偽を選択肢から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

元の命題を「$p$ ならば $q$」とします。

ここで、$p$ は $x \ge 3$ であり、$q$ は $3|x-2| - x \ge 0$ です。

(1) 逆: 「$q$ ならば $p$」

これは「$3|x-2| - x \ge 0$ ならば $x \ge 3$」となります。選択肢から該当するものを選ぶと、⑤です。よって、逆の解答は 5 です。

(2) 裏: 「$\overline{p}$ ならば $\overline{q}$」

これは「$x < 3$ ならば $3|x-2| - x < 0$」となります。選択肢から該当するものを選ぶと、②です。よって、裏の解答は 3 です。

(3) 対偶: 「$\overline{q}$ ならば $\overline{p}$」

これは「$3|x-2| - x < 0$ ならば $x < 3$」となります。選択肢から該当するものを選ぶと、④です。よって、対偶の解答は 1 です。

(4) 真偽:

元の命題: $x \ge 3$ ならば $3|x-2| - x \ge 0$。

$x \ge 3$ のとき、$x - 2 > 0$ なので、$|x-2| = x-2$。したがって、$3(x-2) - x = 2x - 6 \ge 0$ が成り立つので、元の命題は真です。

逆: $3|x-2| - x \ge 0$ ならば $x \ge 3$。

$x=1$ を代入すると、$3|1-2| - 1 = 3 - 1 = 2 \ge 0$ ですが、$x=1 < 3$ なので、この逆は偽です。

裏: $x < 3$ ならば $3|x-2| - x < 0$。

$x=1$ を代入すると、$3|1-2| - 1 = 3 - 1 = 2 \ge 0$ なので、$3|x-2| - x < 0$ は成り立ちません。したがって、裏は偽です。

対偶: $3|x-2| - x < 0$ ならば $x < 3$。

対偶は元の命題の真偽と一致します。元の命題が真なので、その対偶も真です。対偶の真偽は真です。

したがって、

逆の真偽は偽なので、2 です。

裏の真偽は偽なので、2 です。

対偶の真偽は真なので、1 です。

3. 最終的な答え

逆: 5, 真偽: 2

裏: 3, 真偽: 2

対偶: 1, 真偽: 1