$a+b+c=0$ のとき、$a^2+b^2+c^2=2a(a+b)+2b(b+c)+2c(c+a)$ を証明します。

1. 問題の内容

$a+b+c=0$ のとき、$a^2+b^2+c^2=2a(a+b)+2b(b+c)+2c(c+a)$ を証明します。

2. 解き方の手順

まず、$a+b+c=0$ という条件から、$c = -a - b$ と表せることを利用します。

右辺を計算して、左辺と同じになることを示します。

右辺 $= 2a(a+b)+2b(b+c)+2c(c+a)$

$= 2a^2 + 2ab + 2b^2 + 2bc + 2c^2 + 2ac$

ここで、$c = -a - b$ を代入します。

$= 2a^2 + 2ab + 2b^2 + 2b(-a-b) + 2(-a-b)^2 + 2(-a-b)a$

$= 2a^2 + 2ab + 2b^2 - 2ab - 2b^2 + 2(a^2 + 2ab + b^2) - 2a^2 - 2ab$

$= 2a^2 + 2ab + 2b^2 - 2ab - 2b^2 + 2a^2 + 4ab + 2b^2 - 2a^2 - 2ab$

$= (2a^2 + 2a^2 - 2a^2) + (2ab - 2ab + 4ab - 2ab) + (2b^2 - 2b^2 + 2b^2)$

$= 2a^2 + 2ab + 2b^2$

次に、左辺の $a^2 + b^2 + c^2$ に $c = -a - b$ を代入します。

左辺 $= a^2 + b^2 + c^2$

$= a^2 + b^2 + (-a-b)^2$

$= a^2 + b^2 + (a^2 + 2ab + b^2)$

$= a^2 + b^2 + a^2 + 2ab + b^2$

$= 2a^2 + 2b^2 + 2ab$

したがって、左辺と右辺は等しくなります。

3. 最終的な答え

$a^2+b^2+c^2=2a(a+b)+2b(b+c)+2c(c+a)$