問題は、三角関数の性質を利用して、角度の変換や川幅を求める問題です。具体的には、以下の2つの問題があります。 (1) $\sin 68^\circ$ を $\cos$ で表す。 (2) $\cos 84^\circ$ を $\sin$ で表す。 (3) 川の幅ABを求める。地点Bから30m離れた地点Cから地点Aを見たときの角度$\angle CAB = 40^\circ$である。$\tan 40^\circ$を利用して川幅ABを求め、四捨五入して整数で答えなさい。

1. 問題の内容

問題は、三角関数の性質を利用して、角度の変換や川幅を求める問題です。具体的には、以下の2つの問題があります。

(1) $\sin 68^\circ$ を $\cos$ で表す。

(2) $\cos 84^\circ$ を $\sin$ で表す。

(3) 川の幅ABを求める。地点Bから30m離れた地点Cから地点Aを見たときの角度$\angle CAB = 40^\circ$である。$\tan 40^\circ$を利用して川幅ABを求め、四捨五入して整数で答えなさい。

2. 解き方の手順

(1) $\sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta$ の関係を利用します。

$68^\circ = 90^\circ - 22^\circ$ より、$\sin 68^\circ = \sin (90^\circ - 22^\circ) = \cos 22^\circ$

(2) $\cos (90^\circ - \theta) = \sin \theta$ の関係を利用します。

$84^\circ = 90^\circ - 6^\circ$ より、$\cos 84^\circ = \cos (90^\circ - 6^\circ) = \sin 6^\circ$

(3) 川幅ABを求めます。

$\tan \angle CAB = \frac{BC}{AB}$ より、$\tan 40^\circ = \frac{30}{AB}$。

したがって、$AB = \frac{30}{\tan 40^\circ}$

$\tan 40^\circ \approx 0.8391$なので、$AB \approx \frac{30}{0.8391} \approx 35.75$

四捨五入すると36 (m)

3. 最終的な答え

(1) $\cos 22^\circ$

(2) $\sin 6^\circ$

(3) 36 m