Oを原点とする座標平面上に点A($3\sqrt{2}$, $\sqrt{7}$), B(4, -3), C(-4, 3)がある。 (1) Aを中心とし、半径が2の円 $D_1$ 上を動く点Pとするとき、$|OP|$ の最大値を求める。 (2) 条件 $\vec{BQ} \cdot \vec{CQ} = 0$ を満たす点Qの軌跡 $D_2$ が円となる。その中心と半径を求める。 (3) $\vec{OP} \cdot \vec{OQ}$ の最大値を求める。 (4) 直線OA上の点Rは $\vec{OR} = k\vec{OA}$ (kは実数)と表せるので、Rの座標をkを用いて表す。 (5) 点Rが円 $D_2$ 上の点であるとき、その座標を求める。

1. 問題の内容

Oを原点とする座標平面上に点A($3\sqrt{2}$, $\sqrt{7}$), B(4, -3), C(-4, 3)がある。

(1) Aを中心とし、半径が2の円 $D_1$ 上を動く点Pとするとき、$|OP|$ の最大値を求める。

(2) 条件 $\vec{BQ} \cdot \vec{CQ} = 0$ を満たす点Qの軌跡 $D_2$ が円となる。その中心と半径を求める。

(3) $\vec{OP} \cdot \vec{OQ}$ の最大値を求める。

(4) 直線OA上の点Rは $\vec{OR} = k\vec{OA}$ (kは実数)と表せるので、Rの座標をkを用いて表す。

(5) 点Rが円 $D_2$ 上の点であるとき、その座標を求める。

2. 解き方の手順

(1) $|OP|$ の最大値は、$|OA| + 2$ で求められる。

$|OA| = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + (\sqrt{7})^2} = \sqrt{18+7} = \sqrt{25} = 5$

よって、$|OP|$ の最大値は $5 + 2 = 7$

(2) $\vec{BQ} \cdot \vec{CQ} = 0$ より、点Qは線分BCを直径とする円周上の点である。

B(4, -3), C(-4, 3)なので、円の中心は$\left(\frac{4+(-4)}{2}, \frac{-3+3}{2}\right) = (0, 0)$

半径は $\frac{1}{2} \sqrt{(4-(-4))^2 + (-3-3)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{64 + 36} = \frac{1}{2} \sqrt{100} = 5$

よって、円の中心は(0, 0), 半径は5。

(3) $\vec{OP} \cdot \vec{OQ}$ の最大値は、$|OP||OQ|$ の最大値となる。

$|OP|$ の最大値は7, $|OQ|$ は円 $D_2$ 上なので、最大値は5。

$\vec{OP} \cdot \vec{OQ}$ の最大値は $7 \times 5 = 35$ ではない。

$\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = |OP||OQ| \cos \theta$ (θは $\vec{OP}$ と $\vec{OQ}$ のなす角)。$\vec{OP}$と$\vec{OQ}$が同方向になる場合、$\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = |OP||OQ|$

$|OP| \le 7$、$|OQ| = 5$

$|OA| = 5$. 点PはAを中心とする半径2の円周上なので, $\vec{OP} \cdot \vec{OQ}$が最大になる時, O, A, Pが同一直線上に並ぶ。$\vec{OA}$ = ($3\sqrt{2}$,$\sqrt{7}$), $|OA|=5$.

Qは円の中心にいる。($0,0$),|OQ|=5

$\vec{OP}$と$\vec{OQ}$の最大値は$|\vec{OP}||\vec{OQ}|$

$|\vec{OP}| = |\vec{OA}| + 2 = 5 + 2 = 7$

$\vec{OP} = \vec{OA} + \vec{AP}$

$\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = (\vec{OA} + \vec{AP}) \cdot \vec{OQ} = \vec{OA} \cdot \vec{OQ} + \vec{AP} \cdot \vec{OQ}$

この内積が最大になるのは、$\vec{AP}$と$\vec{OQ}$が同方向になる場合。

QはBCを直径とする円周上にある。

原点に中心があり、半径5の円である。

$\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = 7 * 5 = 35$

(4) $\vec{OR} = k\vec{OA}$ なので、Rの座標は $(3\sqrt{2}k, \sqrt{7}k)$

(5) 点Rが円 $D_2$ 上の点であるとき、円の方程式は $x^2 + y^2 = 25$。

Rの座標を代入すると、$(3\sqrt{2}k)^2 + (\sqrt{7}k)^2 = 25$

$18k^2 + 7k^2 = 25$

$25k^2 = 25$

$k^2 = 1$

$k = \pm 1$

よって、Rの座標は $(3\sqrt{2}, \sqrt{7})$ または $(-3\sqrt{2}, -\sqrt{7})$

3. 最終的な答え

1: 7

2: (0, 0), 5

3: 35

4: $3\sqrt{2}k$, $\sqrt{7}k$

5: $\pm 3\sqrt{2}$, $\pm \sqrt{7}$