$x$ についての以下の2つの不等式がある。ただし、$k$ は $0$ でない定数とする。 $$ \frac{x}{3} + \frac{4+x}{2} > 1 \qquad \cdots ① $$ $$ 4(2x-k) \le 5k - 2x \qquad \cdots ② $$ (1) 不等式①を解け。 (2) 不等式②を解け。 (3) 不等式①、②をともに満たす整数 $x$ が10個だけ存在するような $k$ の値の範囲を求めよ。

代数学不等式一次不等式不等式の解法整数解数直線
2025/7/7

1. 問題の内容

xx についての以下の2つの不等式がある。ただし、kk00 でない定数とする。
\frac{x}{3} + \frac{4+x}{2} > 1 \qquad \cdots ①
4(2x-k) \le 5k - 2x \qquad \cdots ②
(1) 不等式①を解け。
(2) 不等式②を解け。
(3) 不等式①、②をともに満たす整数 xx が10個だけ存在するような kk の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 不等式①を解く。
\frac{x}{3} + \frac{4+x}{2} > 1
両辺に6をかける。
2x + 3(4+x) > 6
2x + 12 + 3x > 6
5x > -6
x > -\frac{6}{5}
(2) 不等式②を解く。
4(2x-k) \le 5k - 2x
8x - 4k \le 5k - 2x
10x \le 9k
x \le \frac{9}{10}k
(3) 不等式①と②をともに満たす整数 xx が10個だけ存在するような kk の値の範囲を求める。
不等式①より、x>65=1.2x > -\frac{6}{5} = -1.2 であるから、整数 xx1-1 より大きい。
不等式②より、x910kx \le \frac{9}{10}k である。
①と②をともに満たす整数 xx が10個だけ存在するので、整数は 1-1 よりも大きく、
0,1,2,,90, 1, 2, \dots, 9
の10個である。したがって、
9 \le \frac{9}{10}k < 10
となる。各辺を 910\frac{9}{10} で割ると、
9 \times \frac{10}{9} \le k < 10 \times \frac{10}{9}
10 \le k < \frac{100}{9}

3. 最終的な答え

(1) x>65x > -\frac{6}{5}
(2) x910kx \le \frac{9}{10}k
(3) 10k<100910 \le k < \frac{100}{9}

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