ある日の数学の試験の平均点がA, B, C組で男女別に与えられている。 (1) A組の平均点を求め、B組の平均点がA組の平均点と等しいときの$x$の値を求める。 (2) C組の平均点がA組の平均点以上であり、B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上であるような$x$の値をすべて求める。 (3) 後日、試験を欠席していたC組の2人の男子が同じ試験を受験し、その2人の得点の和を$k$点とする。当初、C組の平均点がA組の平均点以上であったが、この2人の得点を加えて計算し直したところ、C組の平均点がA組の平均点より低くなった。このとき、$x$の値がただ1つに定まるような$k$の値をすべて求める。

1. 問題の内容

ある日の数学の試験の平均点がA, B, C組で男女別に与えられている。

(1) A組の平均点を求め、B組の平均点がA組の平均点と等しいときの$x$の値を求める。

(2) C組の平均点がA組の平均点以上であり、B組の合計得点とC組の合計得点の差が300点以上であるような$x$の値をすべて求める。

(3) 後日、試験を欠席していたC組の2人の男子が同じ試験を受験し、その2人の得点の和を$k$点とする。当初、C組の平均点がA組の平均点以上であったが、この2人の得点を加えて計算し直したところ、C組の平均点がA組の平均点より低くなった。このとき、$x$の値がただ1つに定まるような$k$の値をすべて求める。

2. 解き方の手順

(1)

A組全体の人数は $32 + 8 = 40$ 人。A組全体の合計点は $32 \times 60 + 8 \times 70 = 1920 + 560 = 2480$ 点。

したがって、A組の平均点は $\frac{2480}{40} = 62$ 点。

B組の平均点は $\frac{(40-x) \times 65 + x \times 55}{40} = \frac{2600 - 65x + 55x}{40} = \frac{2600 - 10x}{40} = 65 - \frac{x}{4}$。

B組の平均点がA組の平均点と等しいとき、$65 - \frac{x}{4} = 62$ より、$\frac{x}{4} = 3$。よって、$x = 12$。

(2)

C組の平均点は $\frac{(x+5) \times 59 + (40-x) \times 64}{45} = \frac{59x + 295 + 2560 - 64x}{45} = \frac{-5x + 2855}{45}$。

C組の平均点がA組の平均点以上であるとき、$\frac{-5x + 2855}{45} \ge 62$。

$-5x + 2855 \ge 2790$

$-5x \ge -65$

$x \le 13$

B組の合計得点は $(40-x) \times 65 + x \times 55 = 2600 - 10x$。

C組の合計得点は $(x+5) \times 59 + (40-x) \times 64 = -5x + 2855$。

B組の合計得点とC組の合計得点の差は $(2600 - 10x) - (-5x + 2855) = 2600 - 10x + 5x - 2855 = -5x - 255$。

差が300点以上であるとき、$|-5x - 255| \ge 300$。

これは $-5x - 255 \ge 300$ または $-5x - 255 \le -300$ となる。

$-5x - 255 \ge 300$ のとき、$-5x \ge 555$ より $x \le -111$。これは $1 \le x \le 39$ を満たさない。

$-5x - 255 \le -300$ のとき、$-5x \le -45$ より $x \ge 9$。

したがって、$9 \le x \le 13$。

$x$ は整数なので、$x = 9, 10, 11, 12, 13$。

(3)

C組の2人の男子の得点の和を $k$ とすると、C組の平均点は $\frac{-5x + 2855 + k}{47}$。

当初、C組の平均点がA組の平均点以上であったので $\frac{-5x + 2855}{45} \ge 62$。

$x \le 13$

C組の平均点がA組の平均点より低くなったので、$\frac{-5x + 2855 + k}{47} < 62$。

$-5x + 2855 + k < 2914$

$k < 5x + 59$

$x$の値がただ1つに定まるような$k$の値を求める。

(2)より、$x=9, 10, 11, 12, 13$　なので、$x$は整数。

もし元々$x$が取りうる整数値が複数あったとして、$k$を足すことで取りうる$x$の候補が一つになると考えると、$x$の取りうる範囲の境界のどちらかで、$k$が条件を満たさなくなる必要がある。

$x \le 13$ より、$k < 5x + 59$ に $x=14$ を代入すると、$k < 5(14) + 59 = 70 + 59 = 129$。

$x \ge 9$ より、$k < 5x + 59$ に $x=8$ を代入すると、$k < 5(8) + 59 = 40 + 59 = 99$。

$9 \le x \le 13$ で、$x$ がただ一つに定まるような $k$ の値を求める。$k=128$とすると、$x=13$のみになる。

$x=13$の時、C組の新しい平均点は$\frac{-5(13)+2855+k}{47}<62$なので、$\frac{-65+2855+128}{47}=\frac{2918}{47}\approx 62.08$

$\frac{2855-65+k}{45}>62$, $\frac{2790+k}{45}>62$, $k>62\times 45-2790=62$

$\frac{2790+k}{47}<62$, $k<62\times 47-2790=124$

したがって$62<k<124$

$k$の値を128にした時、C組の平均点が小さくなっていない。そのためkを123にする

3. 最終的な答え

(1) A組の平均点: 62点, $x$の値: 12

(2) $x$の値: $9, 10, 11, 12, 13$

(3) $k$の値: 123