2次方程式 $x^2 + 2(m-1)x + 7 - 3m = 0$ について、以下の3つの条件を満たす $m$ の範囲を求めます。 (1) 異なる2つの解を持つ (2) 2より大きい異なる2つの実数解を持つ (3) 2より大きい解と小さい解を持つ

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2(m-1)x + 7 - 3m = 0$ について、以下の3つの条件を満たす $m$ の範囲を求めます。

(1) 異なる2つの解を持つ

(2) 2より大きい異なる2つの実数解を持つ

(3) 2より大きい解と小さい解を持つ

2. 解き方の手順

(1) 異なる2つの解を持つ条件

判別式 $D > 0$ を満たす必要があります。

$D/4 = (m-1)^2 - (7 - 3m) = m^2 - 2m + 1 - 7 + 3m = m^2 + m - 6 > 0$

$(m+3)(m-2) > 0$

よって、$m < -3$ または $2 < m$

(2) 2より大きい異なる2つの実数解を持つ条件

以下の3つの条件を満たす必要があります。

(i) $D > 0$ (異なる2つの実数解を持つ)

(ii) 軸 $x = - (m-1) > 2$ (軸が2より大きい)

(iii) $f(2) > 0$ ($x=2$ における関数の値が正)

(i) $D > 0$ より、$m < -3$ または $2 < m$

(ii) $-m+1 > 2$ より、$m < -1$

(iii) $f(2) = 2^2 + 2(m-1)2 + 7 - 3m = 4 + 4m - 4 + 7 - 3m = m + 7 > 0$ より、$m > -7$

(i)(ii)(iii) を満たす $m$ の範囲は、$-7 < m < -3$

(3) 2より大きい解と小さい解を持つ条件

$f(2) < 0$ を満たす必要があります。

$f(2) = m + 7 < 0$ より、$m < -7$

3. 最終的な答え

(1) $m < -3$, $2 < m$

(2) $-7 < m < -3$

(3) $m < -7$