次の2つの2次不等式を解きます。 (1) $-2x^2 + x + 1 < 0$ (2) $-3x^2 + 5x - 1 \ge 0$

1. 問題の内容

次の2つの2次不等式を解きます。

(1) $-2x^2 + x + 1 < 0$

(2) $-3x^2 + 5x - 1 \ge 0$

2. 解き方の手順

(1) $-2x^2 + x + 1 < 0$ を解きます。まず、両辺に -1 を掛けて不等号の向きを変えます。

$2x^2 - x - 1 > 0$

次に、左辺を因数分解します。

$(2x + 1)(x - 1) > 0$

したがって、$2x + 1 > 0$ かつ $x - 1 > 0$、または $2x + 1 < 0$ かつ $x - 1 < 0$ となります。

前者の場合、$x > -\frac{1}{2}$ かつ $x > 1$ より、$x > 1$。

後者の場合、$x < -\frac{1}{2}$ かつ $x < 1$ より、$x < -\frac{1}{2}$。

よって、$x < -\frac{1}{2}$ または $x > 1$ が解です。

(2) $-3x^2 + 5x - 1 \ge 0$ を解きます。まず、両辺に -1 を掛けて不等号の向きを変えます。

$3x^2 - 5x + 1 \le 0$

次に、2次方程式 $3x^2 - 5x + 1 = 0$ の解を求めます。解の公式より、

$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4(3)(1)}}{2(3)} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 12}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{6}$

したがって、$x = \frac{5 + \sqrt{13}}{6}$ または $x = \frac{5 - \sqrt{13}}{6}$ です。

不等式 $3x^2 - 5x + 1 \le 0$ の解は、$\frac{5 - \sqrt{13}}{6} \le x \le \frac{5 + \sqrt{13}}{6}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $x < -\frac{1}{2}$ または $x > 1$

(2) $\frac{5 - \sqrt{13}}{6} \le x \le \frac{5 + \sqrt{13}}{6}$