与えられた連立一次方程式をクラメルの公式を用いて解く問題です。 (1) 2変数の連立一次方程式 $4x + 5y = 2$ $x + 2y = 3$ (2) 3変数の連立一次方程式 $2x - 4y + 6z = 2$ $x - 3y + 5z = -1$ $x - 4y + 2z = -8$

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式をクラメルの公式を用いて解く問題です。

(1) 2変数の連立一次方程式

$4x + 5y = 2$

$x + 2y = 3$

(2) 3変数の連立一次方程式

$2x - 4y + 6z = 2$

$x - 3y + 5z = -1$

$x - 4y + 2z = -8$

2. 解き方の手順

クラメルの公式を用いて、それぞれの連立一次方程式を解きます。

(1)

係数行列式を $D$、 $x$ の係数を定数項で置き換えた行列式を $D_x$ 、$y$ の係数を定数項で置き換えた行列式を $D_y$ とすると、

$x = \frac{D_x}{D}$

$y = \frac{D_y}{D}$

と求められます。

まず、係数行列式 $D$ を計算します。

$D = \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 4 \cdot 2 - 5 \cdot 1 = 8 - 5 = 3$

次に、$D_x$ を計算します。

$D_x = \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 2 \cdot 2 - 5 \cdot 3 = 4 - 15 = -11$

次に、$D_y$ を計算します。

$D_y = \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 12 - 2 = 10$

したがって、

$x = \frac{D_x}{D} = \frac{-11}{3}$

$y = \frac{D_y}{D} = \frac{10}{3}$

(2)

係数行列式を $D$ 、 $x$ の係数を定数項で置き換えた行列式を $D_x$ 、$y$ の係数を定数項で置き換えた行列式を $D_y$、$z$ の係数を定数項で置き換えた行列式を $D_z$ とすると、

$x = \frac{D_x}{D}$

$y = \frac{D_y}{D}$

$z = \frac{D_z}{D}$

と求められます。

まず、係数行列式 $D$ を計算します。

$D = \begin{vmatrix} 2 & -4 & 6 \\ 1 & -3 & 5 \\ 1 & -4 & 2 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} -3 & 5 \\ -4 & 2 \end{vmatrix} - (-4)\begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + 6\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} \\ = 2((-3)(2) - (5)(-4)) + 4((1)(2) - (5)(1)) + 6((1)(-4) - (-3)(1)) \\ = 2(-6 + 20) + 4(2 - 5) + 6(-4 + 3) = 2(14) + 4(-3) + 6(-1) = 28 - 12 - 6 = 10$

次に、$D_x$ を計算します。

$D_x = \begin{vmatrix} 2 & -4 & 6 \\ -1 & -3 & 5 \\ -8 & -4 & 2 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} -3 & 5 \\ -4 & 2 \end{vmatrix} - (-4)\begin{vmatrix} -1 & 5 \\ -8 & 2 \end{vmatrix} + 6\begin{vmatrix} -1 & -3 \\ -8 & -4 \end{vmatrix} \\ = 2((-3)(2) - (5)(-4)) + 4((-1)(2) - (5)(-8)) + 6((-1)(-4) - (-3)(-8)) \\ = 2(-6 + 20) + 4(-2 + 40) + 6(4 - 24) = 2(14) + 4(38) + 6(-20) = 28 + 152 - 120 = 60$

次に、$D_y$ を計算します。

$D_y = \begin{vmatrix} 2 & 2 & 6 \\ 1 & -1 & 5 \\ 1 & -8 & 2 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} -1 & 5 \\ -8 & 2 \end{vmatrix} - 2\begin{vmatrix} 1 & 5 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + 6\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -8 \end{vmatrix} \\ = 2((-1)(2) - (5)(-8)) - 2((1)(2) - (5)(1)) + 6((1)(-8) - (-1)(1)) \\ = 2(-2 + 40) - 2(2 - 5) + 6(-8 + 1) = 2(38) - 2(-3) + 6(-7) = 76 + 6 - 42 = 40$

次に、$D_z$ を計算します。

$D_z = \begin{vmatrix} 2 & -4 & 2 \\ 1 & -3 & -1 \\ 1 & -4 & -8 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} -3 & -1 \\ -4 & -8 \end{vmatrix} - (-4)\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & -8 \end{vmatrix} + 2\begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} \\ = 2((-3)(-8) - (-1)(-4)) + 4((1)(-8) - (-1)(1)) + 2((1)(-4) - (-3)(1)) \\ = 2(24 - 4) + 4(-8 + 1) + 2(-4 + 3) = 2(20) + 4(-7) + 2(-1) = 40 - 28 - 2 = 10$

したがって、

$x = \frac{D_x}{D} = \frac{60}{10} = 6$

$y = \frac{D_y}{D} = \frac{40}{10} = 4$

$z = \frac{D_z}{D} = \frac{10}{10} = 1$

3. 最終的な答え

(1)

$x = -\frac{11}{3}$

$y = \frac{10}{3}$

(2)

$x = 6$

$y = 4$

$z = 1$