2次方程式 $x^2 + 4kx + 3k^2 = 0$ が $x = -2$ を解に持つような定数 $k$ の値を求め、そのときの他の解を求めます。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 4kx + 3k^2 = 0$ が $x = -2$ を解に持つような定数 $k$ の値を求め、そのときの他の解を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $x = -2$ を方程式に代入します。

$(-2)^2 + 4k(-2) + 3k^2 = 0$

$4 - 8k + 3k^2 = 0$

$3k^2 - 8k + 4 = 0$

この2次方程式を解きます。

$(3k - 2)(k - 2) = 0$

よって、$k = \frac{2}{3}, 2$

ただし、$k$ の値を小さい順に並べる必要があるため、$k = \frac{2}{3}, 2$ となります。

(2) $k = \frac{2}{3}$ のとき、方程式は

$x^2 + 4 \cdot \frac{2}{3}x + 3 \cdot (\frac{2}{3})^2 = 0$

$x^2 + \frac{8}{3}x + \frac{4}{3} = 0$

$3x^2 + 8x + 4 = 0$

$(3x + 2)(x + 2) = 0$

$x = -2, -\frac{2}{3}$

$x = -2$ は既知の解なので、もう一つの解は $x = -\frac{2}{3}$ です。

$k = 2$ のとき、方程式は

$x^2 + 4 \cdot 2x + 3 \cdot 2^2 = 0$

$x^2 + 8x + 12 = 0$

$(x + 2)(x + 6) = 0$

$x = -2, -6$

$x = -2$ は既知の解なので、もう一つの解は $x = -6$ です。

3. 最終的な答え

(1) $k = \frac{2}{3}, 2$ (ただし、$\frac{2}{3} < 2$とする。)

(2) $k = \frac{2}{3}$ のとき、他の解は $x = -\frac{2}{3}$

$k = 2$ のとき、他の解は $x = -6$