2次方程式 $x^2 - ax + 2a^2 - 8 = 0$ が $x=3$ を解に持つような定数 $a$ の値を求め、そのときの他の解を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - ax + 2a^2 - 8 = 0$ が $x=3$ を解に持つような定数 $a$ の値を求め、そのときの他の解を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $x=3$ が解であることから、方程式に代入すると

$3^2 - a(3) + 2a^2 - 8 = 0$

$9 - 3a + 2a^2 - 8 = 0$

$2a^2 - 3a + 1 = 0$

因数分解すると

$(2a-1)(a-1) = 0$

よって、$a = \frac{1}{2}$ または $a = 1$ 。

条件より、$a$ の小さい順に$\frac{1}{2}$、1なので、ア=$\frac{1}{2}$, イ=1。

(2)

$a = \frac{1}{2}$ のとき、元の式は

$x^2 - \frac{1}{2}x + 2(\frac{1}{2})^2 - 8 = 0$

$x^2 - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} - 8 = 0$

$x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{15}{2} = 0$

$2x^2 - x - 15 = 0$

$(2x+5)(x-3) = 0$

$x = -\frac{5}{2}, 3$

よって、$a=\frac{1}{2}$のとき、他の解は$x = -\frac{5}{2}$。

$a = 1$ のとき、元の式は

$x^2 - x + 2(1)^2 - 8 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

$(x-3)(x+2) = 0$

$x = 3, -2$

よって、$a=1$のとき、他の解は$x = -2$。

3. 最終的な答え

ア: $\frac{1}{2}$

イ: $1$

ウ: $-\frac{5}{2}$

エ: $-2$