実数 $x$ についての関数 $f(x) = -x^2 + ax + a - 2$ と $g(x) = x^2 - (a-2)x$ が与えられています。 (1) すべての実数 $x$ に対して $f(x) < g(x)$ が成立する $a$ の値の範囲を求めます。 (2) すべての実数 $x_1, x_2$ に対して $f(x_1) < g(x_2)$ が成立する $a$ の値の範囲を求めます。
2025/7/8
1. 問題の内容
実数 についての関数 と が与えられています。
(1) すべての実数 に対して が成立する の値の範囲を求めます。
(2) すべての実数 に対して が成立する の値の範囲を求めます。
2. 解き方の手順
(1) すべての実数 に対して が成立する条件を考えます。
より、
すべての実数 に対してこの不等式が成り立つには、
判別式 であればよい。
(2) すべての実数 に対して が成立する条件を考えます。
これは、 の最大値が の最小値よりも小さいことを意味します。
の最大値は です。
の最小値は です。
したがって、 が成立する必要があります。
これは常に偽なので、解なしです。
しかし、問題文から解が存在するようなので、計算ミスがないか確認します。
の最大値は
の最小値は
3. 最終的な答え
ア:
イ:
ウ:
エ: