実数 $x$ についての関数 $f(x) = -x^2 + ax + a - 2$ と $g(x) = x^2 - (a-2)x$ が与えられています。 (1) すべての実数 $x$ に対して $f(x) < g(x)$ が成立する $a$ の値の範囲を求めます。 (2) すべての実数 $x_1, x_2$ に対して $f(x_1) < g(x_2)$ が成立する $a$ の値の範囲を求めます。

代数学二次関数不等式最大値最小値判別式
2025/7/8

1. 問題の内容

実数 xx についての関数 f(x)=x2+ax+a2f(x) = -x^2 + ax + a - 2g(x)=x2(a2)xg(x) = x^2 - (a-2)x が与えられています。
(1) すべての実数 xx に対して f(x)<g(x)f(x) < g(x) が成立する aa の値の範囲を求めます。
(2) すべての実数 x1,x2x_1, x_2 に対して f(x1)<g(x2)f(x_1) < g(x_2) が成立する aa の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1) すべての実数 xx に対して f(x)<g(x)f(x) < g(x) が成立する条件を考えます。
f(x)<g(x)f(x) < g(x) より、
x2+ax+a2<x2(a2)x-x^2 + ax + a - 2 < x^2 - (a-2)x
0<2x22ax2+2xa0 < 2x^2 - 2ax - 2 + 2x - a
2x2(2a2)xa+2>02x^2 - (2a - 2)x - a + 2 > 0
すべての実数 xx に対してこの不等式が成り立つには、
判別式 D<0D < 0 であればよい。
D=(2a2)242(a+2)=4a28a+4+8a16=4a212<0D = (2a-2)^2 - 4*2*(-a+2) = 4a^2 - 8a + 4 + 8a - 16 = 4a^2 - 12 < 0
a23<0a^2 - 3 < 0
3<a<3-\sqrt{3} < a < \sqrt{3}
(2) すべての実数 x1,x2x_1, x_2 に対して f(x1)<g(x2)f(x_1) < g(x_2) が成立する条件を考えます。
これは、f(x)f(x) の最大値が g(x)g(x) の最小値よりも小さいことを意味します。
f(x)=x2+ax+a2=(xa2)2+a24+a2f(x) = -x^2 + ax + a - 2 = -(x - \frac{a}{2})^2 + \frac{a^2}{4} + a - 2
f(x)f(x) の最大値は a24+a2\frac{a^2}{4} + a - 2 です。
g(x)=x2(a2)x=(xa22)2(a2)24g(x) = x^2 - (a-2)x = (x - \frac{a-2}{2})^2 - \frac{(a-2)^2}{4}
g(x)g(x) の最小値は (a2)24-\frac{(a-2)^2}{4} です。
したがって、a24+a2<(a2)24\frac{a^2}{4} + a - 2 < -\frac{(a-2)^2}{4} が成立する必要があります。
a2+4a8<(a24a+4)a^2 + 4a - 8 < -(a^2 - 4a + 4)
2a2+12<02a^2 + 12 < 0
a2+6<0a^2 + 6 < 0
これは常に偽なので、解なしです。
しかし、問題文から解が存在するようなので、計算ミスがないか確認します。
f(x)=x2+ax+a2f(x)=-x^2+ax+a-2 の最大値は a24+a2\frac{a^2}{4}+a-2
g(x)=x2(a2)xg(x)=x^2-(a-2)x の最小値は (a2)24-\frac{(a-2)^2}{4}
a24+a2<(a2)24\frac{a^2}{4}+a-2 < -\frac{(a-2)^2}{4}
a2+4a8<a2+4a4a^2+4a-8 < -a^2+4a-4
2a2<42a^2 < 4
a2<2a^2 < 2
2<a<2-\sqrt{2} < a < \sqrt{2}

3. 最終的な答え

ア: 3-\sqrt{3}
イ: 3\sqrt{3}
ウ: 2-\sqrt{2}
エ: 2\sqrt{2}

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