2つの不等式 $x^2 - 2x - 8 > 0$ (1) と $\sqrt{x^2 - 2x + 1} \le a$ (a > 0) (2) がある。 (1)を解き、$x < ア, イ < x$ を求める。 (2)を解き、$ウ -a \le x \le エ +a$ を求める。 (1),(2)を満たす整数がちょうど4個となる $a$ の値の範囲を $オ (カ) a (キ) ク$ で求める。

1. 問題の内容

2つの不等式 $x^2 - 2x - 8 > 0$ (1) と $\sqrt{x^2 - 2x + 1} \le a$ (a > 0) (2) がある。

(1)を解き、$x < ア, イ < x$ を求める。

(2)を解き、$ウ -a \le x \le エ +a$ を求める。

(1),(2)を満たす整数がちょうど4個となる $a$ の値の範囲を $オ (カ) a (キ) ク$ で求める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $x^2 - 2x - 8 > 0$ を解く。

$x^2 - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2) > 0$

よって、$x < -2$ または $4 < x$

ア = -2, イ = 4

(2) 不等式 $\sqrt{x^2 - 2x + 1} \le a$ を解く。

$\sqrt{x^2 - 2x + 1} = \sqrt{(x - 1)^2} = |x - 1| \le a$

$-a \le x - 1 \le a$

$1 - a \le x \le 1 + a$

ウ = 1, エ = 1

(3) (1)と(2)を満たす整数がちょうど4個となる $a$ の範囲を求める。

$x < -2$ または $4 < x$ かつ $1 - a \le x \le 1 + a$

$1 - a \le x \le -3$ または $5 \le x \le 1 + a$ となる整数が合わせて4個となる。

$1 - a \le x < -2$ の範囲に整数があるためには、$1 - a < -2$ つまり $3 < a$ が必要。

また、$4 < x \le 1 + a$ の範囲に整数があるためには、$4 < 1 + a$ つまり $3 < a$ が必要。

$1 - a \le x < -2$ を満たす整数は $-3, -4, -5, \dots$

$4 < x \le 1 + a$ を満たす整数は $5, 6, 7, \dots$

$1 - a \le -3$ つまり $4 \le a$ のとき、$-3$ が含まれる。

$5 \le 1 + a$ つまり $4 \le a$ のとき、$5$ が含まれる。

このとき、整数は$-3$と$5$の2個。

合計で4個となるためには、以下の2通りが考えられる。

(a) $1 - a \le x < -2$ の範囲に2個、$4 < x \le 1 + a$ の範囲に2個。

(b) $1 - a \le x < -2$ の範囲に3個、$4 < x \le 1 + a$ の範囲に1個。またはその逆。

(a) $1 - a \le x < -2$ に整数$-3,-4$が入る場合、$1 - a \le -4$ つまり $5 \le a$。

$1 - a < -5$ つまり $6 < a$ ならば、$-5$ も入る。

$4 < x \le 1 + a$ に整数$5,6$が入る場合、$1 + a \ge 6$ つまり $5 \le a$。

$1 + a < 7$ つまり $a < 6$ ならば、$7$ が入らない。

したがって、$5 \le a < 6$ ならば、整数は$-3, -4, 5, 6$ の4個となる。

(b) $1 - a \le x < -2$ に整数$-3,-4,-5$が入る場合、$1 - a \le -5$ つまり $6 \le a$。

$4 < x \le 1 + a$ に整数$5$が入る場合、$1 + a \ge 5$ つまり $4 \le a$。

$1 + a < 6$ つまり $a < 5$ ならば、$6$ が入らない。

この場合は$a$が存在しない。

$5 \le a < 6$ で4個になるので、

オ = 5, カ = 2, キ = 1, ク = 6

3. 最終的な答え

ア: -2

イ: 4

ウ: 1

エ: 1

オ: 5

カ: 2

キ: 1

ク: 6