問題5：2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の2つの解からそれぞれ1を引いた数を解にもつ2次方程式が $x^2 + bx + a = 0$ であるという。定数 $a$, $b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

問題5：2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の2つの解からそれぞれ1を引いた数を解にもつ2次方程式が $x^2 + bx + a = 0$ であるという。定数 $a$, $b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + ax + b = 0$ の2つの解を $\alpha$, $\beta$ とすると、解と係数の関係から

$\alpha + \beta = -a$

$\alpha\beta = b$

となる。

次に、$x^2 + bx + a = 0$ の解は $\alpha-1$, $\beta-1$ であるから、解と係数の関係から

$(\alpha-1) + (\beta-1) = -b$

$(\alpha-1)(\beta-1) = a$

となる。

これらの式を整理すると、

$\alpha + \beta - 2 = -b$

$\alpha\beta - (\alpha + \beta) + 1 = a$

となる。

$\alpha + \beta = -a$ および $\alpha\beta = b$ を代入すると、

$-a - 2 = -b$

$b - (-a) + 1 = a$

となる。

これを整理すると、

$b = a + 2$

$b + a + 1 = a$

となる。

$b = a+2$を$b+a+1=a$に代入すると

$a+2+a+1 = a$

$2a+3 = a$

$a = -3$

となる。

したがって、$b = a + 2 = -3 + 2 = -1$ となる。

3. 最終的な答え

$a = -3$

$b = -1$