画像の問題は、三角比に関する基本問題です。具体的には、直角三角形における三角比の値の計算、三角比の相互関係、90°-θ、180°-θの三角比、そして三角比の対称式の値を求める問題です。

幾何学三角比直角三角形三角関数の相互関係sincostan90°-θ180°-θ三角比の対称式
2025/7/7

1. 問題の内容

画像の問題は、三角比に関する基本問題です。具体的には、直角三角形における三角比の値の計算、三角比の相互関係、90°-θ、180°-θの三角比、そして三角比の対称式の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

それぞれの問題に対して以下のように手順を踏みます。
* **問題30(1):**
* sinA=BCAB=46=23sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}
* cosA=ACABcos A = \frac{AC}{AB}、ACを求める。AC=AB2BC2=6242=3616=20=25AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{6^2 - 4^2} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}
* cosA=256=53cos A = \frac{2\sqrt{5}}{6} = \frac{\sqrt{5}}{3}
* **問題30(2):**
* ABの長さを求める。cos30=ACABcos 30^\circ = \frac{AC}{AB}より、AB=ACcos30=632=123=1233=43AB = \frac{AC}{cos 30^\circ} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}
* BCの長さを求める。tan30=BCACtan 30^\circ = \frac{BC}{AC}より、BC=AC×tan30=6×13=63=633=23BC = AC \times tan 30^\circ = 6 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}
* **問題31:**
* cos30=32cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, tan30=13tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}, sin60=32sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, tan60=3tan 60^\circ = \sqrt{3}
* cos30×tan30+sin60×tan60=32×13+32×3=12+32=2cos 30^\circ \times tan 30^\circ + sin 60^\circ \times tan 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = 2
* **問題32(1):**
* sin2θ+cos2θ=1sin^2 \theta + cos^2 \theta = 1より、sin2θ=1cos2θ=1(35)2=1925=1625sin^2 \theta = 1 - cos^2 \theta = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}
* 0<θ<1800^\circ < \theta < 180^\circなので、sinθ>0sin \theta > 0。よって、sinθ=1625=45sin \theta = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}
* tanθ=sinθcosθ=4535=43tan \theta = \frac{sin \theta}{cos \theta} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}
* **問題32(2):**
* 1+tan2θ=1cos2θ1 + tan^2 \theta = \frac{1}{cos^2 \theta}より、cos2θ=11+tan2θ=11+(22)2=11+8=19cos^2 \theta = \frac{1}{1 + tan^2 \theta} = \frac{1}{1 + (-2\sqrt{2})^2} = \frac{1}{1 + 8} = \frac{1}{9}
* tanθ<0tan \theta < 0なので、θ\thetaは鈍角。従って、cosθ<0cos \theta < 0。よって、cosθ=19=13cos \theta = -\sqrt{\frac{1}{9}} = -\frac{1}{3}
* **問題33(1):**
* sin(90θ)=cosθsin(90^\circ - \theta) = cos \thetaより、sin52=cos(9052)=cos38sin 52^\circ = cos(90^\circ - 52^\circ) = cos 38^\circ
* cos(90θ)=sinθcos(90^\circ - \theta) = sin \thetaより、cos70=sin(9070)=sin20cos 70^\circ = sin(90^\circ - 70^\circ) = sin 20^\circ
* **問題33(2):**
* sin(180θ)=sinθsin(180^\circ - \theta) = sin \thetaより、sin140=sin(180140)=sin40sin 140^\circ = sin(180^\circ - 140^\circ) = sin 40^\circ
* cos(180θ)=cosθcos(180^\circ - \theta) = -cos \thetaより、cos110=cos(180110)=cos70cos 110^\circ = -cos(180^\circ - 110^\circ) = -cos 70^\circ
* **問題34:**
* (sinθ+cosθ)2=sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=1+2sinθcosθ(sin \theta + cos \theta)^2 = sin^2 \theta + 2sin \theta cos \theta + cos^2 \theta = 1 + 2sin \theta cos \theta
* (13)2=1+2sinθcosθ(\frac{1}{3})^2 = 1 + 2sin \theta cos \thetaより、19=1+2sinθcosθ\frac{1}{9} = 1 + 2sin \theta cos \theta。よって、2sinθcosθ=191=892sin \theta cos \theta = \frac{1}{9} - 1 = -\frac{8}{9}。したがって、sinθcosθ=49sin \theta cos \theta = -\frac{4}{9}
* tanθ+1tanθ=sinθcosθ+cosθsinθ=sin2θ+cos2θsinθcosθ=1sinθcosθ=149=94tan \theta + \frac{1}{tan \theta} = \frac{sin \theta}{cos \theta} + \frac{cos \theta}{sin \theta} = \frac{sin^2 \theta + cos^2 \theta}{sin \theta cos \theta} = \frac{1}{sin \theta cos \theta} = \frac{1}{-\frac{4}{9}} = -\frac{9}{4}

3. 最終的な答え

* 問題30(1): sinA=23sin A = \frac{2}{3}, cosA=53cos A = \frac{\sqrt{5}}{3}
* 問題30(2): AB=43AB = 4\sqrt{3}, BC=23BC = 2\sqrt{3}
* 問題31: 22
* 問題32(1): sinθ=45sin \theta = \frac{4}{5}, tanθ=43tan \theta = -\frac{4}{3}
* 問題32(2): cosθ=13cos \theta = -\frac{1}{3}
* 問題33(1): cos38cos 38^\circ, sin20sin 20^\circ
* 問題33(2): sin40sin 40^\circ, cos70-cos 70^\circ
* 問題34: sinθcosθ=49sin \theta cos \theta = -\frac{4}{9}, tanθ+1tanθ=94tan \theta + \frac{1}{tan \theta} = -\frac{9}{4}

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