三角形ABCにおいて、$AB=2$, $AC=3$, $BC=4$である。三角形ABCの外心をP、内心をIとするとき、ベクトル$\vec{AP}$をベクトル$\vec{AB}$と$\vec{AC}$で表し、さらに$IP$の長さを求めよ。

幾何学ベクトル三角形外心内心ベクトル表示内積
2025/7/10

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=2AB=2, AC=3AC=3, BC=4BC=4である。三角形ABCの外心をP、内心をIとするとき、ベクトルAP\vec{AP}をベクトルAB\vec{AB}AC\vec{AC}で表し、さらにIPIPの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、AP\vec{AP}AB\vec{AB}AC\vec{AC}で表す。
ABC\triangle ABC の外心を PP とする。外心 PP は各辺の垂直二等分線上にある。
BCBC の中点を MM とすると、AM=AB+AC2\vec{AM} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC}}{2} となる。
AP=sAB+tAC\vec{AP} = s\vec{AB} + t\vec{AC} とおくと、BPAP\vec{BP} \perp \vec{AP} より BPAC=0\vec{BP} \cdot \vec{AC} = 0, CPAB\vec{CP} \perp \vec{AB} より CPAB=0\vec{CP} \cdot \vec{AB} = 0
BP=APAB=(s1)AB+tAC\vec{BP} = \vec{AP} - \vec{AB} = (s-1)\vec{AB} + t\vec{AC}
CP=APAC=sAB+(t1)AC\vec{CP} = \vec{AP} - \vec{AC} = s\vec{AB} + (t-1)\vec{AC}
ABAC=12(AB2+AC2BC2)=12(4+916)=32\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2}(|AB|^2 + |AC|^2 - |BC|^2) = \frac{1}{2}(4 + 9 - 16) = -\frac{3}{2}
BPAC=((s1)AB+tAC)AC=(s1)(ABAC)+tAC2=(s1)(32)+9t=0\vec{BP} \cdot \vec{AC} = ((s-1)\vec{AB} + t\vec{AC}) \cdot \vec{AC} = (s-1)(\vec{AB} \cdot \vec{AC}) + t|\vec{AC}|^2 = (s-1)(-\frac{3}{2}) + 9t = 0
3(s1)+18t=03s+3+18t=0s+1+6t=0s=6t+1-3(s-1) + 18t = 0 \Rightarrow -3s + 3 + 18t = 0 \Rightarrow -s + 1 + 6t = 0 \Rightarrow s = 6t+1
CPAB=(sAB+(t1)AC)AB=sAB2+(t1)(ABAC)=4s+(t1)(32)=0\vec{CP} \cdot \vec{AB} = (s\vec{AB} + (t-1)\vec{AC}) \cdot \vec{AB} = s|\vec{AB}|^2 + (t-1)(\vec{AB} \cdot \vec{AC}) = 4s + (t-1)(-\frac{3}{2}) = 0
8s3(t1)=08s3t+3=08s - 3(t-1) = 0 \Rightarrow 8s - 3t + 3 = 0
8(6t+1)3t+3=048t+83t+3=045t=11t=11458(6t+1) - 3t + 3 = 0 \Rightarrow 48t + 8 - 3t + 3 = 0 \Rightarrow 45t = -11 \Rightarrow t = -\frac{11}{45}
s=6(1145)+1=2215+1=715s = 6(-\frac{11}{45}) + 1 = -\frac{22}{15} + 1 = -\frac{7}{15}
よって、AP=715AB1145AC\vec{AP} = -\frac{7}{15}\vec{AB} - \frac{11}{45}\vec{AC}
次に、AI\vec{AI}AB\vec{AB}AC\vec{AC}で表す。
AI=bAB+cACa+b+c=3AB+2AC4+3+2=3AB+2AC9=13AB+29AC\vec{AI} = \frac{b\vec{AB} + c\vec{AC}}{a+b+c} = \frac{3\vec{AB} + 2\vec{AC}}{4+3+2} = \frac{3\vec{AB} + 2\vec{AC}}{9} = \frac{1}{3}\vec{AB} + \frac{2}{9}\vec{AC}
IP=APAI=(71513)AB+(114529)AC=(715515)AB+(11451045)AC=1215AB2145AC=45AB715AC\vec{IP} = \vec{AP} - \vec{AI} = (-\frac{7}{15} - \frac{1}{3})\vec{AB} + (-\frac{11}{45} - \frac{2}{9})\vec{AC} = (-\frac{7}{15} - \frac{5}{15})\vec{AB} + (-\frac{11}{45} - \frac{10}{45})\vec{AC} = -\frac{12}{15}\vec{AB} - \frac{21}{45}\vec{AC} = -\frac{4}{5}\vec{AB} - \frac{7}{15}\vec{AC}
IP2=45AB715AC2=(45)2AB2+2(45)(715)ABAC+(715)2AC2=1625(4)+2(2875)(32)+49225(9)=64252825+4925=8525=175|\vec{IP}|^2 = |-\frac{4}{5}\vec{AB} - \frac{7}{15}\vec{AC}|^2 = (\frac{4}{5})^2|\vec{AB}|^2 + 2(\frac{4}{5})(\frac{7}{15})\vec{AB}\cdot\vec{AC} + (\frac{7}{15})^2|\vec{AC}|^2 = \frac{16}{25}(4) + 2(\frac{28}{75})(-\frac{3}{2}) + \frac{49}{225}(9) = \frac{64}{25} - \frac{28}{25} + \frac{49}{25} = \frac{85}{25} = \frac{17}{5}
IP=175=855|\vec{IP}| = \sqrt{\frac{17}{5}} = \frac{\sqrt{85}}{5}

3. 最終的な答え

AP=715AB1145AC\vec{AP} = -\frac{7}{15}\vec{AB} - \frac{11}{45}\vec{AC}
IP=855IP = \frac{\sqrt{85}}{5}

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