三角錐PABCにおいて、PA = √2, PB = √3, PC = 2, ∠APB = ∠BPC = ∠CPA = 90°である。点Pから三角形ABCを含む平面に下ろした垂線をPHとする。以下の問いに答える。 (1) 三角形ABCの面積Sを求める。 (2) 三角錐PABCの体積Vを求める。 (3) PHの長さhを求める。

1. 問題の内容

三角錐PABCにおいて、PA = √2, PB = √3, PC = 2, ∠APB = ∠BPC = ∠CPA = 90°である。点Pから三角形ABCを含む平面に下ろした垂線をPHとする。以下の問いに答える。

(1) 三角形ABCの面積Sを求める。

(2) 三角錐PABCの体積Vを求める。

(3) PHの長さhを求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角形ABCの面積Sを求める。

三角形APB, BPC, CPAはそれぞれ直角三角形なので、三平方の定理より

$AB^2 = PA^2 + PB^2 = 2 + 3 = 5$

$BC^2 = PB^2 + PC^2 = 3 + 4 = 7$

$CA^2 = PC^2 + PA^2 = 4 + 2 = 6$

よって、$AB = \sqrt{5}$, $BC = \sqrt{7}$, $CA = \sqrt{6}$。

ヘロンの公式を用いる。$s = (AB + BC + CA)/2 = (\sqrt{5} + \sqrt{7} + \sqrt{6})/2$

$S = \sqrt{s(s-AB)(s-BC)(s-CA)}$を計算するのは大変なので別の方法を考える。

空間座標で考える。P(0,0,0), A(√2,0,0), B(0,√3,0), C(0,0,2)とする。

$\vec{AB} = (-\sqrt{2}, \sqrt{3}, 0)$

$\vec{AC} = (-\sqrt{2}, 0, 2)$

$S = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$

$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -\sqrt{2} & \sqrt{3} & 0 \\ -\sqrt{2} & 0 & 2 \end{vmatrix} = (2\sqrt{3}, 2\sqrt{2}, \sqrt{6})$

$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{2})^2 + (\sqrt{6})^2} = \sqrt{12 + 8 + 6} = \sqrt{26}$

$S = \frac{\sqrt{26}}{2}$

(2) 三角錐PABCの体積Vを求める。

$V = \frac{1}{6} PA \cdot PB \cdot PC = \frac{1}{6} \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 2 = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(3) PHの長さhを求める。

底面を三角形ABCとしたときの三角錐の体積Vを考える。

$V = \frac{1}{3} S h$より

$h = \frac{3V}{S} = \frac{3 (\sqrt{6}/3)}{\sqrt{26}/2} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{26}/2} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{26}} = \frac{2\sqrt{6}\sqrt{26}}{26} = \frac{2\sqrt{156}}{26} = \frac{2\sqrt{4 \cdot 39}}{26} = \frac{4\sqrt{39}}{26} = \frac{2\sqrt{39}}{13}$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{\sqrt{26}}{2}$

(2) $V = \frac{\sqrt{6}}{3}$

(3) $h = \frac{2\sqrt{39}}{13}$