$\sqrt{5}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答えます。 (1) $a$ と $b$ の値を求めなさい。 (2) (1)で求めた $a$ と $b$ を利用して、$a^2 + b^2$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

$\sqrt{5}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答えます。

(1) $a$ と $b$ の値を求めなさい。

(2) (1)で求めた $a$ と $b$ を利用して、$a^2 + b^2$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) まず、$\sqrt{5}$ の値の範囲を考えます。

$2^2 = 4$ であり、$3^2 = 9$ であるから、$2 < \sqrt{5} < 3$ となります。

したがって、$\sqrt{5}$ の整数部分 $a$ は $2$ です。

小数部分 $b$ は、$\sqrt{5}$ から整数部分 $a$ を引いたものです。

$b = \sqrt{5} - a = \sqrt{5} - 2$

(2) (1) で求めた $a=2$ と $b = \sqrt{5} - 2$ を用いて、$a^2 + b^2$ を計算します。

$a^2 = 2^2 = 4$

$b^2 = (\sqrt{5} - 2)^2 = (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{5} + 2^2 = 5 - 4\sqrt{5} + 4 = 9 - 4\sqrt{5}$

よって、

$a^2 + b^2 = 4 + 9 - 4\sqrt{5} = 13 - 4\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 2$, $b = \sqrt{5} - 2$

(2) $a^2 + b^2 = 13 - 4\sqrt{5}$