組み合わせの計算問題です。以下の6つの値を求めます。 (1) $ _6C_3 $ (2) $ _7C_7 $ (3) $ _7C_1 $ (4) $ _5C_0 $ (5) $ _{50}C_{47} $ (6) $ _{n+1}C_{n-1} $ (ただし、$ n $ は正の整数)

以下に、問題10を解きます。

1. 問題の内容

組み合わせの計算問題です。以下の6つの値を求めます。

(1) $_6C_3$

(2) $_7C_7$

(3) $_7C_1$

(4) $_5C_0$

(5) $_{50}C_{47}$

(6) $_{n+1}C_{n-1}$ (ただし、$n$ は正の整数)

2. 解き方の手順

組み合わせの公式 $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を使って計算します。ここで、$n!$ は $n$ の階乗を表します。

(1) $_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

(2) $_7C_7 = \frac{7!}{7!0!} = 1$ ( $0! = 1$ )

(3) $_7C_1 = \frac{7!}{1!6!} = \frac{7}{1} = 7$

(4) $_5C_0 = \frac{5!}{0!5!} = 1$

(5) $_{50}C_{47} = \frac{50!}{47!3!} = \frac{50 \times 49 \times 48}{3 \times 2 \times 1} = 50 \times 49 \times 8 = 19600$

(6) $_{n+1}C_{n-1} = \frac{(n+1)!}{(n-1)!2!} = \frac{(n+1) \times n \times (n-1)!}{(n-1)! \times 2} = \frac{(n+1)n}{2} = \frac{n^2 + n}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 20

(2) 1

(3) 7

(4) 1

(5) 19600

(6) $\frac{n(n+1)}{2}$