$\sqrt{3}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、以下の問題を解きます。 (1) $a$ と $b$ の値を求めます。 (2) $a^2 + b^2$ の値を求めます。 (3) $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$\sqrt{3}$ の整数部分を $a$, 小数部分を $b$ とするとき、以下の問題を解きます。

(1) $a$ と $b$ の値を求めます。

(2) $a^2 + b^2$ の値を求めます。

(3) $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{3}$ の整数部分 $a$ と小数部分 $b$ を求めます。

$\sqrt{1} < \sqrt{3} < \sqrt{4}$ より、$1 < \sqrt{3} < 2$ であるから、$a = 1$ です。

小数部分 $b$ は $\sqrt{3}$ から整数部分 $a$ を引いたものなので、$b = \sqrt{3} - a = \sqrt{3} - 1$ です。

(2) $a^2 + b^2$ の値を求めます。

$a = 1$ と $b = \sqrt{3} - 1$ を $a^2 + b^2$ に代入します。

$a^2 + b^2 = 1^2 + (\sqrt{3} - 1)^2$

$= 1 + ((\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1)$

$= 1 + (3 - 2\sqrt{3} + 1)$

$= 1 + 4 - 2\sqrt{3}$

$= 5 - 2\sqrt{3}$

(3) $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ の値を求めます。

$a = 1$ と $b = \sqrt{3} - 1$ を $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ に代入します。

$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} = \frac{\sqrt{3}-1}{1} + \frac{1}{\sqrt{3}-1}$

$= \sqrt{3} - 1 + \frac{1}{\sqrt{3}-1}$

ここで、$\frac{1}{\sqrt{3}-1}$ を有理化します。

$\frac{1}{\sqrt{3}-1} = \frac{1}{\sqrt{3}-1} \times \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+1} = \frac{\sqrt{3}+1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{3}+1}{3-1} = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$

よって、

$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} = \sqrt{3} - 1 + \frac{\sqrt{3}+1}{2} = \frac{2(\sqrt{3}-1) + \sqrt{3} + 1}{2} = \frac{2\sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} + 1}{2} = \frac{3\sqrt{3} - 1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 1$, $b = \sqrt{3} - 1$

(2) $a^2 + b^2 = 5 - 2\sqrt{3}$

(3) $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} = \frac{3\sqrt{3} - 1}{2}$