AさんとBさんの会話形式で、$\sqrt{3}$の整数部分と小数部分に関する問題について、いくつかの空欄を埋める。具体的には、$\sqrt{3}$の近似値、整数部分、小数部分を求め、それらを用いて$a^2 + b^2$や$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$の値を計算する。

1. 問題の内容

AさんとBさんの会話形式で、$\sqrt{3}$の整数部分と小数部分に関する問題について、いくつかの空欄を埋める。具体的には、$\sqrt{3}$の近似値、整数部分、小数部分を求め、それらを用いて$a^2 + b^2$や$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$の値を計算する。

2. 解き方の手順

(1) 選択肢①: $\sqrt{3}$の近似値を求める。

小数第3位で四捨五入すると、$\sqrt{3} \approx 1.73$なので、選択肢①はイ。

(2) ②: $a+b$の値を求める。

問題文より、$a$は$\sqrt{3}$の整数部分、$b$は$\sqrt{3}$の小数部分であるから、$a+b = \sqrt{3}$。したがって、$a+b=\sqrt{3}$

(3) ③: $a$の値を求める。

$\sqrt{3} \approx 1.73$なので、$a=1$。

(4) 選択肢④: $b$を$a$と$\sqrt{3}$を使って表す方法を選ぶ。

$\sqrt{3}$から$a$を引くと$b$になるので、選択肢④はイ。

(5) ⑤: $b$の値を求める。

$b = \sqrt{3} - a = \sqrt{3} - 1$。

(6) ⑥: $a^2 + b^2$の値を求める。

$a^2 + b^2 = (1)^2 + (\sqrt{3}-1)^2 = 1 + (3 - 2\sqrt{3} + 1) = 5 - 2\sqrt{3}$。

(7) 式⑦: $(a+b)^2$を展開する。

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$。

(8) 式⑧: $a^2 + b^2$を$a+b$と$ab$で表す。

$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$。

(9) ⑨: $ab$の値を求める。

$ab = 1 \cdot (\sqrt{3} - 1) = \sqrt{3} - 1$。

(10) 選択肢⑩: $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$を計算する際に行うこと。

$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} = \frac{b^2 + a^2}{ab}$なので、まず通分する必要がある。したがって、選択肢⑩はア。

(11) ⑪: $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$の値を求める。

$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} = \frac{a^2 + b^2}{ab} = \frac{5 - 2\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} = \frac{(5 - 2\sqrt{3})(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{5\sqrt{3} + 5 - 6 - 2\sqrt{3}}{3 - 1} = \frac{3\sqrt{3} - 1}{2}$

3. 最終的な答え

選択肢①: イ

②: $\sqrt{3}$

③: 1

選択肢④: イ

⑤: $\sqrt{3} - 1$

⑥: $5 - 2\sqrt{3}$

式⑦: $a^2 + 2ab + b^2$

式⑧: $(a+b)^2 - 2ab$

⑨: $\sqrt{3} - 1$

選択肢⑩: ア

⑪: $\frac{3\sqrt{3}-1}{2}$