$\sqrt{5}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答える。 (1) $a$ と $b$ の値を求める。 (2) $a^2 + b^2$ の値を求める。 (3) $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\sqrt{5}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、以下の問いに答える。

(1) $a$ と $b$ の値を求める。

(2) $a^2 + b^2$ の値を求める。

(3) $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{5}$ の値について考える。$2^2 = 4$ であり、$3^2 = 9$ であるから、$2 < \sqrt{5} < 3$ である。したがって、$\sqrt{5}$ の整数部分は $a = 2$ である。小数部分 $b$ は $\sqrt{5}$ から整数部分 $a$ を引いたものなので、$b = \sqrt{5} - a = \sqrt{5} - 2$ となる。

(2) (1)で求めた $a$ と $b$ を用いて、$a^2 + b^2$ を計算する。

$a^2 + b^2 = 2^2 + (\sqrt{5} - 2)^2 = 4 + (5 - 4\sqrt{5} + 4) = 4 + 9 - 4\sqrt{5} = 13 - 4\sqrt{5}$ となる。

(3) $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ の値を求める。

$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} = \frac{b^2 + a^2}{ab}$ である。(2)で $a^2 + b^2 = 13 - 4\sqrt{5}$ であることを求めた。

$ab = 2(\sqrt{5} - 2) = 2\sqrt{5} - 4$

したがって、

$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} = \frac{13 - 4\sqrt{5}}{2\sqrt{5} - 4} = \frac{(13 - 4\sqrt{5})(2\sqrt{5} + 4)}{(2\sqrt{5} - 4)(2\sqrt{5} + 4)} = \frac{26\sqrt{5} + 52 - 40 - 16\sqrt{5}}{20 - 16} = \frac{10\sqrt{5} + 12}{4} = \frac{5\sqrt{5} + 6}{2}$

したがって、

$\frac{b}{a} + \frac{a}{b} = \frac{5\sqrt{5}+6}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $a=2$, $b = \sqrt{5}-2$

(2) $a^2 + b^2 = 13 - 4\sqrt{5}$

(3) $\frac{b}{a} + \frac{a}{b} = \frac{5\sqrt{5}+6}{2}$