$\sqrt{3}$の整数部分を$a$、小数部分を$b$とするとき、以下の問いに答えます。 (1) $a$と$b$の値を求めます。 (2) (1)の結果を利用して、$a^2 + b^2$の値を求めます。

1. 問題の内容

$\sqrt{3}$の整数部分を$a$、小数部分を$b$とするとき、以下の問いに答えます。

(1) $a$と$b$の値を求めます。

(2) (1)の結果を利用して、$a^2 + b^2$の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{3}$の整数部分$a$と小数部分$b$を求めます。

まず、$\sqrt{3}$の近似値を考えます。

$1^2 = 1 < 3 < 4 = 2^2$なので、$1 < \sqrt{3} < 2$となります。

したがって、$\sqrt{3}$の整数部分は1なので、$a = 1$です。

小数部分$b$は、$\sqrt{3}$から整数部分を引いたものなので、

$b = \sqrt{3} - 1$となります。

(2) $a^2 + b^2$の値を求めます。

$a = 1$、$b = \sqrt{3} - 1$なので、

$a^2 + b^2 = 1^2 + (\sqrt{3} - 1)^2$

$= 1 + ((\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1)$

$= 1 + (3 - 2\sqrt{3} + 1)$

$= 1 + 4 - 2\sqrt{3}$

$= 5 - 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $a = 1$, $b = \sqrt{3} - 1$

(2) $a^2 + b^2 = 5 - 2\sqrt{3}$