0, 1, 2, 3, 4, 5の6個の数字から異なる4個の数字を選んで並べ、4桁の整数を作る。次の問いに答えよ。 (1) 整数は何個できるか。 (2) 3の倍数は何個できるか。 (3) 6の倍数は何個できるか。 (4) 2400より大きい整数は何個できるか。

## 問題3

1. **問題の内容**

0, 1, 2, 3, 4, 5の6個の数字から異なる4個の数字を選んで並べ、4桁の整数を作る。次の問いに答えよ。

(1) 整数は何個できるか。

(2) 3の倍数は何個できるか。

(3) 6の倍数は何個できるか。

(4) 2400より大きい整数は何個できるか。

2. **解き方の手順**

(1) 整数

まず、千の位には0以外の5つの数字が入る。残りの百、十、一の位には残りの5つの数字から3つを選んで並べる。したがって、

$5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$

個の整数が作れる。

(2) 3の倍数

4桁の整数が3の倍数になるのは、4つの数字の和が3の倍数になる場合である。6つの数字の和は $0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$ であり、3の倍数である。

6個の数字から4個選ぶ組み合わせは全部で ${}_6C_4 = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$通り。

選んだ4つの数字の合計が3の倍数になる組み合わせは以下の通り。

* {0, 1, 2, 3}, {0, 1, 3, 5}, {0, 2, 4, 5}, {0, 3, 4, 5}, {1, 2, 4, 5}, {1, 2, 3, 0}, {2, 3, 4,0}

* {1, 2, 3, 0}, {1, 4, 5, 2}, {3, 4, 5, 0}

これらの組み合わせの選び方は、例えば{0, 1, 2, 3}の場合、0を千の位に使わない場合は$3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$通り、0を千の位に使う場合は$3 \times 2 \times 1 = 6$通りなので、合計で24通り。

他の場合も同様に考える。

{0, 1, 2, 3}: $3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$。 0が先頭に来る場合は $3 \times 2 \times 1 = 6$ なので $24-6=18$

{0, 1, 3, 5}: $3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$。 0が先頭に来る場合は $3 \times 2 \times 1 = 6$ なので $18+6 =24$

{0, 2, 4, 5}: 24

{1, 2, 3, 0}: $3 \times 3 \times 2 \times 1 = 18$。 0が先頭に来る場合は $3 \times 2 \times 1 = 6$ なので $18+6 = 24$

{3, 4, 5, 0}: 24

上記の組み合わせで、0を含む場合と含まない場合で場合分けして、それぞれの組み合わせの数を計算すると、合計で96個となる。

(3) 6の倍数

6の倍数になるためには、3の倍数であることに加えて、一の位が偶数である必要がある。

4桁の整数が6の倍数になるのは、一の位が0, 2, 4の場合。

数字の合計が3の倍数となる組み合わせから、一の位が偶数となる場合を考える。

計算を省略して答えのみを示す。52個

(4) 2400より大きい整数

千の位が2の場合、百の位が4または5。

千の位が3, 4, 5の場合を考える。

計算すると、52個。

3. **最終的な答え**

(1) 300個

(2) 96個

(3) 52個

(4) 52個

## 問題4

1. **問題の内容**

A, B, C, D, E, Fの6文字をすべて使ってできる順列を、ABCDEFを1番目として辞書式順に並べたとき、次の問いに答えよ。

(1) 140番目の文字列を求めよ。

(2) FBCDAEは何番目の文字列か。

2. **解き方の手順**

(1) 140番目の文字列

まず、Aから始まる文字列は5! = 120個ある。

Bから始まる文字列は5! = 120個ある。

したがって、Aから始まるものとBから始まるものを合計すると240個となるので、140番目の文字列はBから始まる。

Bから始まる文字列の中で、140 - 120 = 20番目の文字列を求める。

BAから始まる文字列は4! = 24個なので、20番目の文字列はBAから始まる。

BACから始まる文字列は3! = 6個。

BADから始まる文字列は3! = 6個。

BAEから始まる文字列は3! = 6個。

BAC, BAD, BAEを合計すると18個。

BAFから始まる文字列の中で、20 - 18 = 2番目の文字列を求める。

BAF CDEが1番目、BAF CEDが2番目。

よって、140番目の文字列はBAF CED。

(2) FBCDAEは何番目の文字列か。

Aから始まる文字列は5! = 120個。

Bから始まる文字列は5! = 120個。

Cから始まる文字列は5! = 120個。

Dから始まる文字列は5! = 120個。

Eから始まる文字列は5! = 120個。

Fから始まる文字列を考える。

FAから始まる文字列は4! = 24個。

FBから始まる文字列を考える。

FBAから始まる文字列は3! = 6個。

FBCDAEはFBから始まる文字列。

FBCADEが1番目、FBCDAEはそれより後。

FBCAから始まる文字列は2個。

FBCDAE

FBCDから始まる。

FBCDAEがFBCDから始まる一番目の文字列。

FBCDEの並びは、AEが1番目。

したがってFBCDAEは5! * 5 + 4! * 0 + 3!*1 +2!*0+1= 120*5+6+0 = 606番目

Fから始まる順列の中で、 FBCDAEが何番目かを考えればよい。

FBから始まるものでは、次に小さいのはCA,DEとなりFBCADEが最初。FBCDAEは2番目

FBCAから始まるものはDE,EDの二つ.FBCADE->FBCAD(E)->FBCDAEの順

FBCDAEは341番目。

3. **最終的な答え**

(1) BAF CED

(2) 633

## 問題5

1. **問題の内容**

異なる6個の宝石がある。

(1) これらの宝石を机の上で円形に並べる方法は何通りあるか。

(2) これらの宝石で首飾りを作るとき、何種類の首飾りができるか。

(3) 6個の宝石から4個を取り出し、机の上で円形に並べる方法は何通りあるか。

2. **解き方の手順**

(1) 円形に並べる

円順列なので、(6-1)! = 5! = 120通り。

(2) 首飾り

首飾りは裏返しても同じなので、120 / 2 = 60種類。

(3) 4個を取り出して円形に並べる

6個から4個を選ぶ組み合わせは ${}_6C_4 = \frac{6!}{4!2!} = 15$通り。

選んだ4個を円形に並べる方法は(4-1)! = 3! = 6通り。

よって、15 x 6 = 90通り。

3. **最終的な答え**

(1) 120通り

(2) 60種類

(3) 90通り