与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。数列は等比数列に $n$ を掛けた形をしています。 $ S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^{n-1} $

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $S$ を求める問題です。数列は等比数列に $n$ を掛けた形をしています。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}$

2. 解き方の手順

まず、与えられた和 $S$ を書き下します。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}$

次に、$S$ に公比 $3$ を掛けた $3S$ を計算します。

$3S = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \cdots + (n-1) \cdot 3^{n-1} + n \cdot 3^n$

$S$ から $3S$ を引きます。

$S - 3S = (1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \cdots + n \cdot 3^{n-1}) - (1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \cdots + (n-1) \cdot 3^{n-1} + n \cdot 3^n)$

$-2S = 1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1} - n \cdot 3^n$

ここで、$1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1}$ は初項 $1$, 公比 $3$ の等比数列の和なので、

$1 + 3 + 3^2 + \cdots + 3^{n-1} = \frac{1(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$

したがって、

$-2S = \frac{3^n - 1}{2} - n \cdot 3^n$

$-2S = \frac{3^n - 1 - 2n \cdot 3^n}{2}$

$S = \frac{2n \cdot 3^n - 3^n + 1}{4} = \frac{(2n - 1)3^n + 1}{4}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{(2n - 1)3^n + 1}{4}$