問題は、次の和 $S$ を求めることです。 $S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \dots + n \cdot 3^{n-1}$

1. 問題の内容

問題は、次の和 $S$ を求めることです。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \dots + n \cdot 3^{n-1}$

2. 解き方の手順

まず、$S$ を書き出します。

$S = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \dots + n \cdot 3^{n-1}$

次に、$S$ に $3$ を掛けた $3S$ を書き出します。

$3S = 1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \dots + n \cdot 3^{n}$

$S$ から $3S$ を引きます。

$S - 3S = (1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \dots + n \cdot 3^{n-1}) - (1 \cdot 3 + 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3^3 + \dots + n \cdot 3^{n})$

$-2S = 1 \cdot 1 + (2-1) \cdot 3 + (3-2) \cdot 3^2 + \dots + (n-(n-1)) \cdot 3^{n-1} - n \cdot 3^n$

$-2S = 1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} - n \cdot 3^n$

$1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1}$ は初項 $1$、公比 $3$、項数 $n$ の等比数列の和なので、

$1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{n-1} = \frac{1(3^n - 1)}{3 - 1} = \frac{3^n - 1}{2}$

したがって、

$-2S = \frac{3^n - 1}{2} - n \cdot 3^n$

$-2S = \frac{3^n - 1 - 2n \cdot 3^n}{2}$

$-4S = 3^n - 1 - 2n \cdot 3^n$

$4S = 1 - 3^n + 2n \cdot 3^n$

$S = \frac{1 - 3^n + 2n \cdot 3^n}{4}$

$S = \frac{1 + (2n - 1)3^n}{4}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{1 + (2n - 1)3^n}{4}$