3つのプロジェクトP, Q, Rにそれぞれ12人、合計36人の社員が企画課と営業課から参加している。各プロジェクトにおいて、企画課と営業課の社員数の差は3人以内である。また、企画課の社員数が多いのはPのみである。このとき、P, Q, R全体で営業課の社員数が最も多い場合の人数を求める。

1. 問題の内容

3つのプロジェクトP, Q, Rにそれぞれ12人、合計36人の社員が企画課と営業課から参加している。各プロジェクトにおいて、企画課と営業課の社員数の差は3人以内である。また、企画課の社員数が多いのはPのみである。このとき、P, Q, R全体で営業課の社員数が最も多い場合の人数を求める。

2. 解き方の手順

各プロジェクトに企画課の人数を $p$, $q$, $r$、営業課の人数を $s$, $t$, $u$ とする。各プロジェクトの合計人数は12人なので、

$p+s=12$

$q+t=12$

$r+u=12$

また、企画課と営業課の合計人数は36人なので、

$p+q+r+s+t+u = 36$

さらに、企画課の社員数が多いのはPのみなので、

$p > s$

$q < t$

$r < u$

また、企画課と営業課の社員数の差は3人以内なので、

$|p-s| \le 3$

$|q-t| \le 3$

$|r-u| \le 3$

営業課の人数を最大にするには、$t$と$u$をできるだけ大きくする必要がある。$q<t$ かつ $|q-t| \le 3$ を満たす整数の範囲で、$t$を最大化するには、$q$を最小にすれば良い。$q \ge 0$より、$q=0$のとき、$t=12$、$q=1$のとき、$t=11$, $q=2$のとき、$t=10$、等々となる。$q<t$かつ$|q-t| \le 3$より、$t$の最大値は7、$q=5$となる。同様に、$r<u$かつ$|r-u| \le 3$より、$u$の最大値は7、$r=5$となる。

$p > s$かつ$|p-s| \le 3$より、$p$の最小値は、$s$をできるだけ大きくすればよい。$s$は最大で、$p+s=12$、$p>s$、$p-s \le 3$を満たす必要がある。$p-s \le 3$より、$p \le s+3$なので、$s+3+s \ge 12$。つまり、$2s \ge 9$なので、$s \ge 4.5$。$s$は整数なので、$s \ge 5$となる。$s=5$とすると、$p=7$となる。$s=6$とすると、$p=6$となるが、$p>s$を満たさないので、$s=5$, $p=7$となる。

したがって、$s+t+u = 5+7+7 = 19$人が営業課の社員数の最大値である。

3. 最終的な答え

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