実ポテンシャル $V(x)$ 中の質量 $m$ の粒子を考えます。波動関数 $\Psi(x,t)$ は $x \to \pm \infty$ で $\Psi, \partial \Psi / \partial x \to 0$ とします。 1. 位置演算子 $\hat{x}$ と運動量演算子 $\hat{p}$ の期待値の時間微分 $\frac{d}{dt} \langle \hat{x} \rangle$ と $\frac{d}{dt} \langle \hat{p} \rangle$ を求めます。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

実ポテンシャル $V(x)$ 中の質量 $m$ の粒子を考えます。波動関数 $\Psi(x,t)$ は $x \to \pm \infty$ で $\Psi, \partial \Psi / \partial x \to 0$ とします。

1. 位置演算子 $\hat{x}$ と運動量演算子 $\hat{p}$ の期待値の時間微分 $\frac{d}{dt} \langle \hat{x} \rangle$ と $\frac{d}{dt} \langle \hat{p} \rangle$ を求めます。

2. $\langle \hat{x} \rangle$ と $\langle \hat{p} \rangle$ が古典力学での粒子の位置と運動量に対応しているとします。古典力学の運動方程式と一致するための条件を求めます。

2. 解き方の手順

1. 期待値の時間微分を求めるには、 Ehrenfest の定理を使用します。

まず、位置演算子の期待値の時間微分を計算します。

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\frac{d}{dt} \langle \hat{x} \rangle = \frac{i}{\hbar} \langle [\hat{H}, \hat{x}] \rangle

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ここで、$\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(\hat{x})$ はハミルトニアンです。交換関係を計算します。

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[\hat{H}, \hat{x}] = \left[ \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(\hat{x}), \hat{x} \right] = \frac{1}{2m} [\hat{p}^2, \hat{x}] + [V(\hat{x}), \hat{x}]

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$[V(\hat{x}), \hat{x}] = 0$ なので、

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[\hat{p}^2, \hat{x}] = \hat{p} [\hat{p}, \hat{x}] + [\hat{p}, \hat{x}] \hat{p} = \hat{p} (-i\hbar) + (-i\hbar) \hat{p} = -2i\hbar \hat{p}

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したがって、

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[\hat{H}, \hat{x}] = \frac{1}{2m} (-2i\hbar \hat{p}) = -\frac{i\hbar}{m} \hat{p}

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よって、

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\frac{d}{dt} \langle \hat{x} \rangle = \frac{i}{\hbar} \left\langle -\frac{i\hbar}{m} \hat{p} \right\rangle = \frac{1}{m} \langle \hat{p} \rangle

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次に、運動量演算子の期待値の時間微分を計算します。

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\frac{d}{dt} \langle \hat{p} \rangle = \frac{i}{\hbar} \langle [\hat{H}, \hat{p}] \rangle

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交換関係を計算します。

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[\hat{H}, \hat{p}] = \left[ \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(\hat{x}), \hat{p} \right] = \frac{1}{2m} [\hat{p}^2, \hat{p}] + [V(\hat{x}), \hat{p}]

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$[\hat{p}^2, \hat{p}] = 0$ なので、

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[V(\hat{x}), \hat{p}] = V(\hat{x}) \hat{p} - \hat{p} V(\hat{x})

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ここで、$V(\hat{x})$ を $x$ の関数と考えると、

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[V(\hat{x}), \hat{p}] = i\hbar \frac{\partial V(\hat{x})}{\partial x}

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したがって、

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\frac{d}{dt} \langle \hat{p} \rangle = \frac{i}{\hbar} \left\langle i\hbar \frac{\partial V(\hat{x})}{\partial x} \right\rangle = - \left\langle \frac{\partial V(\hat{x})}{\partial x} \right\rangle

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2. 古典力学との対応を考えます。$\langle \hat{x} \rangle = x_{cl}$ と $\langle \hat{p} \rangle = p_{cl}$ が古典力学における位置と運動量に対応するとします。すると、

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\frac{d}{dt} \langle \hat{x} \rangle = \frac{d x_{cl}}{dt} = \frac{p_{cl}}{m}

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これは古典力学の運動方程式 $p=mv$ と一致します。

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\frac{d}{dt} \langle \hat{p} \rangle = \frac{d p_{cl}}{dt} = - \left\langle \frac{\partial V(\hat{x})}{\partial x} \right\rangle

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これが古典力学の運動方程式 $F = -\frac{\partial V}{\partial x} = ma = \frac{dp}{dt}$ と一致するためには、

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\left\langle \frac{\partial V(\hat{x})}{\partial x} \right\rangle = \frac{\partial V(\langle \hat{x} \rangle)}{\partial x}

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が成り立つ必要があります。 これは、$V(x)$ が $\langle \hat{x} \rangle$ 周りで急激に変化しない場合、つまり、$V(x)$ が滑らかな関数である場合に近似的に成り立ちます。

3. 最終的な答え

1. $\frac{d}{dt} \langle \hat{x} \rangle = \frac{1}{m} \langle \hat{p} \rangle$

$\frac{d}{dt} \langle \hat{p} \rangle = - \left\langle \frac{\partial V(\hat{x})}{\partial x} \right\rangle$

2. $\left\langle \frac{\partial V(\hat{x})}{\partial x} \right\rangle \approx \frac{\partial V(\langle \hat{x} \rangle)}{\partial x}$ が成り立つとき、つまり $V(x)$ が滑らかな関数であるときに、古典力学の運動方程式と一致します。