7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる3個の数字を使って3桁の整数を作る。 (ア)作れる整数の総数を求める。 (イ)作れる整数のうち、4の倍数の数を求める。 (ウ)作れる整数のうち、3の倍数の数を求める。

1. 問題の内容

7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる3個の数字を使って3桁の整数を作る。

(ア)作れる整数の総数を求める。

(イ)作れる整数のうち、4の倍数の数を求める。

(ウ)作れる整数のうち、3の倍数の数を求める。

2. 解き方の手順

(ア)

まず、百の位に使える数字は0以外の6通り。

十の位には、百の位に使った数字以外の6通り。

一の位には、百の位と十の位に使った数字以外の5通り。

したがって、作れる整数の総数は

$6 \times 6 \times 5 = 180$通り。

(イ)

4の倍数となるのは、下2桁が4の倍数になるときである。

下2桁が4の倍数となる組み合わせは以下の通り。

04, 12, 16, 20, 24, 32, 36, 40, 52, 56, 60, 64

これらの組み合わせについて、それぞれ百の位に何通りの数字が使えるかを考える。

- 04, 20, 40, 60の場合: 百の位には0, 4以外の5通りの数字が使える。よって、 $4 \times 5 = 20$通り。

- 12, 16, 24, 32, 36, 52, 56, 64の場合: 百の位には、それら2つの数字以外の5通りの数字が使える。よって、$8 \times 5 = 40$通り。

したがって、4の倍数は$20 + 40 = 60$通り。

(ウ)

3の倍数となるのは、各位の数字の和が3の倍数になるときである。

0から6の数字の中で、3つの異なる数字を選び、それらの合計が3の倍数になる組み合わせを考える。

- 合計が3になる組み合わせ: (0, 1, 2)

- 合計が6になる組み合わせ: (0, 1, 5), (0, 2, 4), (1, 2, 3)

- 合計が9になる組み合わせ: (0, 3, 6), (0, 4, 5), (1, 2, 6), (1, 3, 5), (2, 3, 4)

- 合計が12になる組み合わせ: (0, 5, 6), (1, 4, 6), (2, 4, 6), (3, 4, 5)

- 合計が15になる組み合わせ: (4, 5, 6)

それぞれの組み合わせで作れる3桁の整数を考える。

- (0, 1, 2): 0が含まれるので、 $2 \times 2 \times 1 = 4$通り。

- (0, 1, 5), (0, 2, 4), (0, 3, 6), (0, 4, 5), (0, 5, 6): 0が含まれるので、 $5 \times (2 \times 2 \times 1) = 20$通り

- (1, 2, 3), (1, 2, 6), (1, 3, 5), (1, 4, 6), (2, 3, 4), (2, 4, 6), (3, 4, 5), (4, 5, 6): 0が含まれないので、$8 \times (3 \times 2 \times 1) = 48$通り

したがって、3の倍数となる整数は、$4 + 20 + 48 = 72$通り。

3. 最終的な答え

ア: 180

イ: 60

ウ: 72