7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる3個の数字を使って3桁の整数を作る。 (ア) 作れる整数の総数を求めよ。 (イ) そのうち、4の倍数となる整数の数を求めよ。 (ウ) そのうち、3の倍数となる整数の数を求めよ。

1. 問題の内容

7個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5, 6から異なる3個の数字を使って3桁の整数を作る。

(ア) 作れる整数の総数を求めよ。

(イ) そのうち、4の倍数となる整数の数を求めよ。

(ウ) そのうち、3の倍数となる整数の数を求めよ。

2. 解き方の手順

(ア) 3桁の整数の総数

* 百の位は0以外の6通り。

* 十の位は、百の位で使用した数字以外の6通り。

* 一の位は、百の位と十の位で使用した数字以外の5通り。

したがって、3桁の整数の総数は $6 \times 6 \times 5 = 180$ 通り。

(イ) 4の倍数

3桁の整数が4の倍数であるためには、下2桁が4の倍数である必要がある。

使用できる数字は0, 1, 2, 3, 4, 5, 6である。

下2桁が4の倍数となる組み合わせは以下の通り:

04, 12, 16, 20, 24, 32, 36, 40, 44 (不可), 52, 56, 60, 64

合計13通り。

* 下2桁が04, 20, 40, 60のとき、百の位は残りの5通り。 $4 \times 5 = 20$

* 下2桁が12, 16, 24, 32, 36, 52, 56, 64のとき、百の位は残りの5通りから0を除いた4通り。 $8 \times 4 = 32$

したがって、4の倍数は $20 + 32 = 52$ 通り。

(ウ) 3の倍数

3桁の整数が3の倍数であるためには、各位の数字の和が3の倍数である必要がある。

使用できる数字は0, 1, 2, 3, 4, 5, 6である。

これらの数字を3で割った余りで分類すると、

* 余り0: 0, 3, 6

* 余り1: 1, 4

* 余り2: 2, 5

各位の数字の和が3の倍数になる組み合わせは、以下のパターンがある。

1. (0, 3, 6) の組み合わせ: 3! - 2! = 6 - 2 = 4 通り

2. (1, 4)から3つ選ぶ組み合わせ: 無し

3. (2, 5)から3つ選ぶ組み合わせ: 無し

4. (余り0, 余り1, 余り2) の組み合わせ:

* (0, 1, 2) のとき 4通り

* (0, 1, 5) のとき 4通り

* (0, 4, 2) のとき 4通り

* (0, 4, 5) のとき 4通り

* (3, 1, 2) のとき 6通り

* (3, 1, 5) のとき 6通り

* (3, 4, 2) のとき 6通り

* (3, 4, 5) のとき 6通り

* (6, 1, 2) のとき 6通り

* (6, 1, 5) のとき 6通り

* (6, 4, 2) のとき 6通り

* (6, 4, 5) のとき 6通り

* (0, 3, 6) のとき 3! - 2! = 4通り。

$4 + 4 + 4 + 4 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 68$. 4! = 24

(0, 3, 6) : 3!=6, ただし、0が先頭に来る場合を引くと、2!=

2. よって、6-2=4

(0,1,2): 4

(0,1,5): 4

(0,4,2): 4

(0,4,5): 4

(1,2,3): 6

(1,2,6): 6

(1,3,5): 6

(1,5,6): 6

(2,3,4): 6

(2,4,6): 6

(3,4,5): 6

(4,5,6): 6

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 6*8=16+48=64

したがって、3の倍数は 60通り。

3. 最終的な答え

ア: 180

イ: 52

ウ: 60