6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5を重複なく使ってできる4桁の整数を小さい順に並べたとき、200番目の数は何か、また、2315は何番目の数か、そして初めて3000を超えるのは何番目の数かを求める問題です。

1. 問題の内容

6個の数字0, 1, 2, 3, 4, 5を重複なく使ってできる4桁の整数を小さい順に並べたとき、200番目の数は何か、また、2315は何番目の数か、そして初めて3000を超えるのは何番目の数かを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、4桁の整数が全部で何個できるかを計算します。千の位には0以外の数字が入るので、5通りの選択肢があります。百の位には、残りの5つの数字から1つ選ぶので5通り、十の位には残りの4つの数字から1つ選ぶので4通り、一の位には残りの3つの数字から1つ選ぶので3通りです。したがって、4桁の整数は全部で $5 \times 5 \times 4 \times 3 = 300$ 個できます。

次に、小さい順に並べたときに、各数字で始まる数が何個あるかを考えます。

- 1000番台の数: 千の位が1である場合、百、十、一の位には残りの5つの数字から3つを選んで並べるので、$5 \times 4 \times 3 = 60$個。

- 2000番台の数: 千の位が2である場合、百、十、一の位には残りの5つの数字から3つを選んで並べるので、$5 \times 4 \times 3 = 60$個。

- 3000番台の数: 千の位が3である場合、百、十、一の位には残りの5つの数字から3つを選んで並べるので、$5 \times 4 \times 3 = 60$個。

- 4000番台の数: 千の位が4である場合、百、十、一の位には残りの5つの数字から3つを選んで並べるので、$5 \times 4 \times 3 = 60$個。

- 5000番台の数: 千の位が5である場合、百、十、一の位には残りの5つの数字から3つを選んで並べるので、$5 \times 4 \times 3 = 60$個。

したがって、1000から始まる数が60個、2000から始まる数が60個あるので、200番目の数は3000番台の数になります。

次に、200番目の数を具体的に求めます。1000番台と2000番台の数を合計すると120個なので、200番目の数は200 - 120 = 80番目の3000番台の数です。

3000番台の数について、百の位が小さい順に並べると、

- 30XXの数: 十、一の位には残りの4つの数字から2つを選んで並べるので、$4 \times 3 = 12$個。

- 31XXの数: 十、一の位には残りの4つの数字から2つを選んで並べるので、$4 \times 3 = 12$個。

- 32XXの数: 十、一の位には残りの4つの数字から2つを選んで並べるので、$4 \times 3 = 12$個。

- 34XXの数: 十、一の位には残りの4つの数字から2つを選んで並べるので、$4 \times 3 = 12$個。

- 35XXの数: 十、一の位には残りの4つの数字から2つを選んで並べるので、$4 \times 3 = 12$個。

30XXから34XXまでの数を合計すると、$12 \times 4 = 48$個なので、80番目の3000番台の数は35XXの数になります。

30XXから34XXまでの数が120 + 48 = 168個なので、200番目の数は80 - 48 = 32番目の35XXの数です。

3501, 3502, 3504,...

3500台の数は、$3501, 3502, 3504$

3510, 3512, 3514,

....

32番目 = 3542

2315が何番目かを計算します。

1000番台：60個

2000番台：60個

2100番台：12個

2300番台：12個

2310, 2314, 2315

2315 = 60 + 60 + 12 + 1 + 1 = 145番目

初めて3000を超えるのは、1000番台(60個)、2000番台（60個)の後、3012

3. 最終的な答え

200番目の数は 3542

2315は 145 番目の数

初めて3000を超えるのは 121 番目の数